Uma partícula de massa m move-se no plano xy sob a ação exclusiva de uma força estacionária dada por
\mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{ax}^{2} \mathrm{y}\right. - by) \mathrm{i}+\left(\mathrm{cx}^{3}\right. - bx)j, onde a, b e c são constantes reais. A partícula parte do ponto A=(0,0) com velocidade inicial v_{0} e atinge o ponto \mathrm{B}=(\mathrm{L}, \mathrm{L}) ao longo de uma trajetória arbitrária contida no plano. Desprezam-se quaisquer outras interações. Com base nas propriedades da força e nas leis da mecânica clássica, assinale a alternativa CORRETA.
a) O trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula de A até B depende da trajetória para quaisquer valores dos parâmetros \mathrm{a}, \mathrm{b} e c .
b) A força admite uma função potencial escalar se, e somente se, a = c; nesse caso, a energia mecânica da partícula é uma constante do movimento.
c) Para \mathrm{a}=\mathrm{c}, o trabalho realizado pela força no deslocamento de A até B é nulo, independentemente da velocidade inicial.
d) Para a =3 c, a força é conservativa, de modo que o trabalho associado a um deslocamento ao longo de um caminho fechado se anula.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
  • Dado: uma força no plano xy \mathrm{F}(x,y)=\bigl(a x^{2}y - b y\bigr)\,\mathbf{i} \;+\; \bigl(c x^{3}-b x\bigr)\,\mathbf{j},com a,b,c constantes reais.
  • A partícula vai de A=(0,0) até B=(L,L) seguindo uma trajetória qualquer no plano. A velocidade inicial é v_0 (informação presente, mas não vamos precisar do valor numérico dela para decidir a questão).
  • Pergunta: entre as alternativas (a), (b), (c) e (d), qual é a CORRETA sobre trabalho, existência de potencial e conservação de energia/linha fechada?

Passo 2

Primeiro, escrevo os componentes escalares da força (isso torna tudo mais claro para aplicar os testes clássicos):
P(x,y)=a x^{2}y - b y \qquad\text{(componente em } \mathbf{i}\text{)}
Q(x,y)=c x^{3} - b x \qquad\text{(componente em } \mathbf{j}\text{)}.

Passo 3

Lembrete teórico curto e essencial (zinho de mecânica/vetores): para um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) definido num domínio simplesmente conexo do plano, uma condição necessária e suficiente para \mathbf{F} ser conservativo (i.e., existir uma função potencial escalar \varphi(x,y) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi) é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isto é o análogo em 2D de “curl = 0”. O domínio aqui é todo o plano (simplesmente conexo), logo podemos usar esse teste sem cerimônia.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais pedidas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a x^{2}y - b y\bigr)=a x^{2}-b,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(c x^{3} - b x\bigr)=3c x^{2}-b.
Impondo a igualdade da condição de conservatividade:
a x^{2}-b = 3c x^{2}-b \quad\Rightarrow\quad (a-3c)x^{2}=0.
Como isto deve valer para todo x no domínio, concluímos que a única maneira é
a=3c.
Logo: a força admite potencial (é conservativa) se, e somente se, \mathbf{a=3c}.

Passo 5

Vamos construir explicitamente a potencial quando a=3c, só para ficar cristalino. Supondo a=3c, integro P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int\bigl(3c x^{2}y - b y\bigr)\,dx = c x^{3}y - b x y + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y. Agora imponho \partial\varphi/\partial y=Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=c x^{3}-b x + g'(y) \stackrel{!}{=} Q(x,y)=c x^{3}-b x.
Daí vem g'(y)=0, ou seja g é constante. Podemos então tomar
\varphi(x,y)=c x^{3}y - b x y + \text{const.}
Verificação rápida: \nabla\varphi=(3c x^{2}y - b y)\,\mathbf{i} + (c x^{3}-b x)\,\mathbf{j}, que coincide com \mathbf{F} quando a=3c. Tudo consistente.

Passo 6

Consequências físicas e relação com as alternativas:
  • Se a=3c a força é conservativa. Propriedades imediatas: o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais (independe da trajetória) e o trabalho ao longo de um caminho fechado é zero.
  • Se a\neq 3c o campo não é conservativo, então em geral o trabalho entre dois pontos depende da trajetória e fechamentos de caminho podem ter trabalho não nulo.
  • Esclarecimento sobre energia mecânica: quando a força é conservativa (podemos escrever \mathbf{F}=-\nabla U usando uma função energia potencial apropriada), a energia mecânica total E=K+U é conservada ao longo do movimento, na ausência de outras forças dissipativas. (Aqui a forma \mathbf{F}=\nabla\varphi que achamos apenas difere por sinal da convenção \mathbf{F}=-\nabla U; basta escolher U=-\varphi para obter a forma usual.)
  • Aplicação prática ao enunciado: a alternativa (d) afirma exatamente que para a=3c a força é conservativa e o trabalho em um caminho fechado é nulo — isto é verdadeiro e segue diretamente do teste que fizemos e da existência da \varphi acima.
  • Comentário sobre as outras alternativas:
    • (a) é falsa porque existe o caso a=3c em que o trabalho NÃO depende da trajetória.
    • (b) é falsa porque erra a condição: a força admite potencial se, e somente se, a=3c, não a=c. (Além disso, a afirmação sobre energia mecânica ser constante só valeria quando a força for conservativa — o que exige a=3c.)
    • (c) é falsa: mesmo que se tome a=c, isso não garante conservatividade (a condição correta é a=3c), então não se pode afirmar que o trabalho de A até B seja nulo. Para reforçar: quando a=3c o trabalho de A para B é \varphi(B)-\varphi(A). Calculando com \varphi=c x^{3}y - b x y: \varphi(0,0)=0,\qquad \varphi(L,L)=c L^{4}-b L^{2},então o trabalho de A para B (no caso conservativo a=3c) é \;c L^{4}-b L^{2}, que em geral NÃO é zero. Logo (c) está errada também.

Passo 7

Conclusão final: a alternativa correta é a (d), porque o teste \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x dá exatamente a=3c, e isso garante que a força é conservativa e que o trabalho sobre qualquer laço fechado é zero.

Resposta

(d)

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