Uma partícula de massa
move-se no plano xy sob a ação exclusiva de uma força estacionária dada por
- by)
- bx)j, onde a, b e c são constantes reais. A partícula parte do ponto
com velocidade inicial
e atinge o ponto
ao longo de uma trajetória arbitrária contida no plano. Desprezam-se quaisquer outras interações. Com base nas propriedades da força e nas leis da mecânica clássica, assinale a alternativa CORRETA.
a) O trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula de A até B depende da trajetória para quaisquer valores dos parâmetros
e c .
b) A força admite uma função potencial escalar se, e somente se, a = c; nesse caso, a energia mecânica da partícula é uma constante do movimento.
c) Para
, o trabalho realizado pela força no deslocamento de A até B é nulo, independentemente da velocidade inicial.
d) Para a
, a força é conservativa, de modo que o trabalho associado a um deslocamento ao longo de um caminho fechado se anula.
a) O trabalho realizado pela força ao deslocar a partícula de A até B depende da trajetória para quaisquer valores dos parâmetros
b) A força admite uma função potencial escalar se, e somente se, a = c; nesse caso, a energia mecânica da partícula é uma constante do movimento.
c) Para
d) Para a
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
- Dado: uma força no plano
com constantes reais. - A partícula vai de
até seguindo uma trajetória qualquer no plano. A velocidade inicial é (informação presente, mas não vamos precisar do valor numérico dela para decidir a questão). - Pergunta: entre as alternativas (a), (b), (c) e (d), qual é a CORRETA sobre trabalho, existência de potencial e conservação de energia/linha fechada?
Passo 2
Primeiro, escrevo os componentes escalares da força (isso torna tudo mais claro para aplicar os testes clássicos):
Passo 3
Lembrete teórico curto e essencial (zinho de mecânica/vetores): para um campo vetorial
definido num domínio simplesmente conexo do plano, uma condição necessária e suficiente para
ser conservativo (i.e., existir uma função potencial escalar
tal que
) é
Isto é o análogo em 2D de “curl = 0”. O domínio aqui é todo o plano (simplesmente conexo), logo podemos usar esse teste sem cerimônia.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais pedidas:
Impondo a igualdade da condição de conservatividade:
Como isto deve valer para todo
no domínio, concluímos que a única maneira é
Logo: a força admite potencial (é conservativa) se, e somente se,
.
Passo 5
Vamos construir explicitamente a potencial quando
, só para ficar cristalino. Supondo
, integro
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
. Agora imponho
:
Daí vem
, ou seja
é constante. Podemos então tomar
Verificação rápida:
, que coincide com
quando
. Tudo consistente.
Passo 6
Consequências físicas e relação com as alternativas:
- Se
a força é conservativa. Propriedades imediatas: o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos finais (independe da trajetória) e o trabalho ao longo de um caminho fechado é zero. - Se
o campo não é conservativo, então em geral o trabalho entre dois pontos depende da trajetória e fechamentos de caminho podem ter trabalho não nulo. - Esclarecimento sobre energia mecânica: quando a força é conservativa (podemos escrever
usando uma função energia potencial apropriada), a energia mecânica total é conservada ao longo do movimento, na ausência de outras forças dissipativas. (Aqui a forma que achamos apenas difere por sinal da convenção ; basta escolher para obter a forma usual.) - Aplicação prática ao enunciado: a alternativa (d) afirma exatamente que para
a força é conservativa e o trabalho em um caminho fechado é nulo — isto é verdadeiro e segue diretamente do teste que fizemos e da existência da acima. - Comentário sobre as outras alternativas:
- (a) é falsa porque existe o caso
em que o trabalho NÃO depende da trajetória. - (b) é falsa porque erra a condição: a força admite potencial se, e somente se,
, não . (Além disso, a afirmação sobre energia mecânica ser constante só valeria quando a força for conservativa — o que exige .) - (c) é falsa: mesmo que se tome
, isso não garante conservatividade (a condição correta é ), então não se pode afirmar que o trabalho de até seja nulo. Para reforçar: quando o trabalho de para é . Calculando com : então o trabalho de para (no caso conservativo ) é , que em geral NÃO é zero. Logo (c) está errada também.
- (a) é falsa porque existe o caso
Passo 7
Conclusão final: a alternativa correta é a (d), porque o teste
dá exatamente
, e isso garante que a força é conservativa e que o trabalho sobre qualquer laço fechado é zero.
Resposta
(d)