Um foguete de massa
localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
é lançado verticalmente para cima. No instante em que o foguete atinge uma velocidade vertical de
, ele explode em três fragmentos de massas iguais. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos continua a se mover para cima com velocidade de
, e um dos outros dois fragmentos restantes adquire velocidade horizontal de
no sentido positivo do eixo
. Considere o sistema isolado (livre de forças externas).
Calcule a velocidade do centro de massa do sistema após a explosão. Qual a direção da trajetória do centro de massa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete de massa $ M $ que está na origem de um sistema de coordenadas $ xOy $. Ele é lançado pra cima e, quando atinge uma velocidade vertical de $ 300 , m/s $, explode em três pedaços iguais. Após a explosão:
- Um pedaço continua subindo com velocidade de $ 500 , m/s $.
- Outro ganha uma velocidade horizontal de $ 300 , m/s $ na direção positiva do eixo $ Ox $.
- O terceiro pedaço ainda não sabemos o que ele faz.
Queremos calcular a velocidade do centro de massa do sistema depois da explosão e descobrir a direção da trajetória desse centro de massa. Para resolver isso, vamos usar a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento e entender um pouquinho sobre o Centro de Massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em um sistema isolado (sem forças externas agindo), a quantidade de movimento total antes da explosão é igual à quantidade de movimento total depois da explosão.
A quantidade de movimento ($ \vec{p} $) é dada por:
onde $ m $ é a massa e $ \vec{v} $ é a velocidade.
Passo 3
Antes da explosão, o foguete tinha massa $ M $ e estava se movendo apenas na direção vertical com velocidade $ 300 , m/s
\vec{p}_{inicial} $) é:
Aqui, $ \hat{j} $ representa a direção vertical positiva.
Passo 4
Após a explosão, temos três fragmentos com massas iguais. Cada fragmento tem massa $ \frac{M}{3} $.
As velocidades após a explosão são:
- Primeiro fragmento: $ 500 , m/s $ na direção vertical ($ \hat{j} $).
- Segundo fragmento: $ 300 , m/s $ na direção horizontal positiva ($ \hat{i} $).
- Terceiro fragmento: vamos chamar sua velocidade de $ \vec{v}3 = v{3x} \hat{i} + v_{3y} \hat{j} $.
Passo 5
Aplicando a conservação da quantidade de movimento, temos:
Passo 6
Vamos simplificar dividindo os dois lados por $ M $:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar os denominadores:
Passo 7
Isolando $ \vec{v}_3 $:
Então, o terceiro fragmento tem velocidade $ \vec{v}_3 = (-300 , m/s) \hat{i} + 400 , m/s \hat{j} $.
Passo 8
Agora, para encontrar a velocidade do centro de massa ($ \vec{V}_{cm} $) após a explosão, usamos:
Isso significa que a velocidade do centro de massa continua sendo $ 300 , m/s $ na direção vertical, já que o sistema é isolado e a quantidade de movimento na horizontal não muda o centro de massa.
Resposta
A velocidade do centro de massa do sistema após a explosão é de $ 300 , m/s $ na direção vertical para cima. Portanto, a trajetória do centro de massa segue uma linha vertical para cima.