Um foguete de massa M localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas xOy é lançado verticalmente para cima. No instante em que o foguete atinge uma velocidade vertical de 300 m / s, ele explode em três fragmentos de massas iguais. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos continua a se mover para cima com velocidade de 500 m / s, e um dos outros dois fragmentos restantes adquire velocidade horizontal de 300 m / s no sentido positivo do eixo Ox. Considere o sistema isolado (livre de forças externas).
(1,0) Calcule a energia cinética adicional (em Joules) que o sistema ganhou na explosão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um foguete de massa $ M $ que é lançado para cima e, ao atingir uma velocidade de $ 300 , m/s $, ele explode em três pedaços iguais. Depois da explosão, um pedaço continua subindo a $ 500 , m/s $ e outro ganha uma velocidade horizontal de $ 300 , m/s $ na direção positiva de $ Ox $. Precisamos descobrir quanta energia cinética a explosão adicionou ao sistema. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição das massas após a explosão. Como o foguete se divide em três pedaços iguais, cada fragmento tem uma massa de $ \frac{M}{3} $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a lei da conservação do momento. Como não há forças externas agindo no sistema, o momento total antes da explosão é igual ao momento total após a explosão. O foguete estava se movendo apenas na direção vertical antes da explosão, então o momento total inicial é:
pinicial = M cdot vinicial = M cdot 300 , m/s cdot j
Após a explosão, temos dois fragmentos com velocidades conhecidas e um terceiro cujo movimento ainda não conhecemos. Vamos chamar a velocidade do terceiro fragmento de $ \vec{v}_3 $.
Então, a conservação do momento fica:
v3

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar $ \vec{v}_3 $. Primeiro, igualamos as componentes em $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
Componente $ \hat{i} $:
v3
Resolvendo para $ v_{3x} $:
i
Componente $ \hat{j} $:
j
Dividindo ambos os lados por $ M $:
i
Multiplicando por 3:
0 = M3 cdot 300 , m/s + M3 cdot v3x
Então, a velocidade do terceiro fragmento é $ \vec{v}_3 = -300 , m/s \cdot \hat{i} + 400 , m/s \cdot \hat{j} $.

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia cinética total antes da explosão. A energia cinética ($ KE $) é dada por:
KE
Antes da explosão, toda a massa $ M $ do foguete estava se movendo a $ 300 , m/s $, então:
KE = 12 m v^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia cinética total após a explosão. Temos três fragmentos:
  1. Um fragmento com $ v = 500 , m/s $:
v = 500 , m/s
  1. Um fragmento com $ v = 300 , m/s $ na horizontal:
KE1 = 12 cdot M3 cdot (500)^2 = 12 cdot M3 cdot 250,000 = 41,666.67 M , J
  1. O terceiro fragmento com $ v = \sqrt{(-300)^2 + (400)^2} = 500 , m/s $:
v = 300 , m/s
Somando todas as energias:
KE2 = 12 cdot M3 cdot (300)^2 = 12 cdot M3 cdot 90,000 = 15,000 M , J ó

Resposta

A explosão adicionou $ 53{,}333.34 , M $ Joules de energia cinética ao sistema.

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