Um foguete de massa
localizado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas
é lançado verticalmente para cima. No instante em que o foguete atinge uma velocidade vertical de
, ele explode em três fragmentos de massas iguais. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos continua a se mover para cima com velocidade de
, e um dos outros dois fragmentos restantes adquire velocidade horizontal de
no sentido positivo do eixo
. Considere o sistema isolado (livre de forças externas).
Determine o módulo da velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um foguete que explode e a gente precisa descobrir a velocidade de um dos pedaços depois da explosão. A matéria que vamos usar aqui é Conservação do Momento Linear, que diz que, em um sistema isolado (sem forças externas), o momento total antes da explosão é igual ao momento total depois. Vamos precisar aplicar isso nas direções horizontal (eixo Ox) e vertical (eixo Oy).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece antes da explosão. O foguete tem uma massa total $ M $ e está se movendo para cima com uma velocidade de $ 300 , m/s $. Então, o momento linear total antes da explosão está apenas na direção vertical (Oy) e é dado por:
Passo 3
Depois da explosão, o foguete se divide em três fragmentos de massas iguais. Então, cada fragmento tem massa $ m = \frac{M}{3} $.
Um dos fragmentos continua subindo com velocidade $ 500 , m/s $ na direção Oy, e outro fragmento vai na direção horizontal Ox com velocidade $ 300 , m/s $. Precisamos encontrar a velocidade do terceiro fragmento, que vamos chamar de $ \vec{v}3 $, com componentes $ v{3x} $ e $ v_{3y} $.
Passo 4
Vamos aplicar a Conservação do Momento Linear em ambas as direções, Ox e Oy.
Na direção Ox:
Antes da explosão, o foguete não tinha movimento horizontal, então o momento inicial em Ox é zero:
Após a explosão, temos dois fragmentos na direção Ox:
- Um com $ v_{2x} = 300 , m/s $
- O terceiro fragmento com $ v_{3x} $ (desconhecido)
A conservação do momento em Ox fica:
Isso significa que o terceiro fragmento está se movendo para a esquerda na direção Ox com $ 300 , m/s $.
Na direção Oy:
Antes da explosão, o momento em Oy é:
Após a explosão, temos dois fragmentos na direção Oy:
- Um com $ v_{1y} = 500 , m/s $
- O terceiro fragmento com $ v_{3y} $ (desconhecido)
A conservação do momento em Oy fica:
Então, o terceiro fragmento está se movendo para cima na direção Oy com $ 400 , m/s $.
Passo 5
Agora que temos as componentes da velocidade do terceiro fragmento:
Para encontrar o módulo da velocidade $ |\vec{v}_3| $, usamos o teorema de Pitágoras:
Resposta
O módulo da velocidade do terceiro fragmento imediatamente após a explosão é $ 500 , m/s $.