Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustivel, e o combustivel tém massas m=40 kg e mc=10 kg, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao selu movimento com uma velocidade relativa vr=10 m / s, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustivel. Suponha que o foguete libere o combustível de forma linear, ou seja, M(t)=(m+mc)(1-tT), onde M(t) é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo t qualquer e T é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Qual é a velocidade do foguete após cinco minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após cinco e dez minutos?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está viajando horizontalmente. A massa do foguete sem combustível é m = 40,kg e a massa do combustível é mc = 10,kg. Para acelerar, o foguete libera o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa constante de vr = 10,m/s. A massa total do foguete mais o combustível em qualquer instante de tempo t é dada por:
M(t) = (m + mc)(1 - tT)
onde T é o tempo necessário para esvaziar todo o combustível, que é de 10 minutos.
Para resolver essa questão, vamos utilizar conceitos de física relacionados ao movimento de foguetes, especificamente a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a variação de velocidade do foguete com a massa de combustível expelida.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades de tempo para segundos para facilitar os cálculos. Sabemos que T = 10 minutos, então:
T = 10,min times 60,smin = 600,s
Também queremos encontrar a velocidade após 5 minutos:
t = 5,min times 60,smin = 300,s

Passo 3

A equação da velocidade do foguete em função do tempo é dada por:
v(t) = vr ln(M0M(t))
onde:
  • v(t) é a velocidade do foguete no tempo t,
  • vr é a velocidade relativa do combustível,
  • M0 é a massa inicial do foguete mais o combustível,
  • M(t) é a massa do foguete mais o combustível no tempo t.

Passo 4

Vamos calcular a massa inicial M0:
M0 = m + mc = 40,kg + 10,kg = 50,kg
Agora, vamos calcular a massa no tempo t = 300,s:
M(300) = 50,kg (1 - 300,s600,s) = 50,kg times (1 - 0.5) = 25,kg

Passo 5

Substituindo os valores na equação da velocidade:
v(300) = 10,m/s times ln(50,kg25,kg) = 10,m/s times ln(2)
Calculando o valor numérico:
ln(2) approx 0.6931
Então:
v(300) approx 10,m/s times 0.6931 = 6.931,m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade no tempo t = 600,s (10 minutos):
M(600) = 50,kg (1 - 600,s600,s) = 50,kg times 0 = 0,kg
No entanto, isso não faz sentido fisicamente, pois resta apenas a massa do foguete sem combustível, que é m = 40,kg. Portanto, a massa no tempo t = 600,s é:
M(600) = 40,kg
Agora, calculamos a velocidade:
v(600) = 10,m/s times ln(50,kg40,kg) = 10,m/s times ln(1.25)
Calculando o valor numérico:
ln(1.25) approx 0.2231
Então:
v(600) approx 10,m/s times 0.2231 = 2.231,m/s

Resposta

A velocidade do foguete após cinco minutos é aproximadamente 6.931,m/s. A razão entre as velocidades após cinco e dez minutos é aproximadamente 3.1.

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