Um foguete viaja horizontalmente. O foguete, sem o combustivel, e o combustivel tém massas
e
, respectivamente. Para acelerar, o foguete lança o combustível na direção oposta ao selu movimento com uma velocidade relativa
, que é constante no tempo. Desconsidere efeitos gravitacionais que podem agir sobre o foguete e o combustivel. Suponha que o foguete libere o combustível de forma linear, ou seja,
, onde
é a massa do foguete mais o combustível restante em um tempo
qualquer e
é o tempo necessário para esvaziar o combustível do foguete. Suponha que é possível esvaziar o foguete em dez minutos quando seu motor é mantido ligado.
Qual é a velocidade do foguete após cinco minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após cinco e dez minutos?
Qual é a velocidade do foguete após cinco minutos? Qual é a razão entre suas velocidades após cinco e dez minutos?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um foguete que está viajando horizontalmente. A massa do foguete sem combustível é
e a massa do combustível é
. Para acelerar, o foguete libera o combustível na direção oposta ao seu movimento com uma velocidade relativa constante de
. A massa total do foguete mais o combustível em qualquer instante de tempo
é dada por:
onde
é o tempo necessário para esvaziar todo o combustível, que é de
minutos.
Para resolver essa questão, vamos utilizar conceitos de física relacionados ao movimento de foguetes, especificamente a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a variação de velocidade do foguete com a massa de combustível expelida.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades de tempo para segundos para facilitar os cálculos. Sabemos que
minutos, então:
Também queremos encontrar a velocidade após
minutos:
Passo 3
A equação da velocidade do foguete em função do tempo é dada por:
onde:
-
é a velocidade do foguete no tempo , -
é a velocidade relativa do combustível, -
é a massa inicial do foguete mais o combustível, -
é a massa do foguete mais o combustível no tempo .
Passo 4
Vamos calcular a massa inicial
:
Agora, vamos calcular a massa no tempo
:
Passo 5
Substituindo os valores na equação da velocidade:
Calculando o valor numérico:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a velocidade no tempo
(10 minutos):
No entanto, isso não faz sentido fisicamente, pois resta apenas a massa do foguete sem combustível, que é
. Portanto, a massa no tempo
é:
Agora, calculamos a velocidade:
Calculando o valor numérico:
Então:
Resposta
A velocidade do foguete após cinco minutos é aproximadamente
. A razão entre as velocidades após cinco e dez minutos é aproximadamente
.