Foi admitido que o preço médio de livros em Ciências Sociais é de U$ 18,00. Mas descobriu-se que o preço médio de uma amostra aleatória de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro (no campo das Ciências Sociais) é de U$ 21,60, com um desvio padrão
. Baseado nos dados amostrais, podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros em questão seja de U$ 18,00? Use um nível de significância de 5%.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, em média, os livros de Ciências Sociais custam 18 dólares. Mas uma amostra de 16 livros mostrou que, na verdade, a média foi de 21,60 dólares, com um desvio padrão de 2,70 dólares. A pergunta é: com esses dados, a gente pode aceitar que o preço médio seja mesmo 18 dólares? Vamos usar um nível de significância de 5% para decidir isso. Vamos precisar usar testes de hipótese para comparar a média da amostra com a média declarada.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (
) é aquela que queremos testar, assumindo que não há diferença. A hipótese alternativa (
) é o que queremos verificar se é verdadeiro.
-
Hipótese Nula (
): A média dos preços dos livros é 18 dólares. -
Hipótese Alternativa (
): A média dos preços dos livros não é 18 dólares.
Passo 3
Agora, vamos escolher qual teste estatístico usar. Como temos uma amostra pequena (n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student para uma amostra.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste t. A fórmula para o teste t é:
Onde:
-
(média da amostra) -
(média hipotética) -
(desvio padrão da amostra) -
(tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade
. Como é um teste bicaudal (a média pode ser maior ou menor), dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda.
Consultando a tabela t, para
e
, o valor crítico é aproximadamente 2,131.
Passo 6
Vamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico:
- |t calculado| = 5,33
- Valor crítico = 2,131
Como 5,33 é maior que 2,131, estamos na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 5%, não podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros é de 18 dólares.