Foi admitido que o preço médio de livros em Ciências Sociais é de U$ 18,00. Mas descobriu-se que o preço médio de uma amostra aleatória de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro (no campo das Ciências Sociais) é de U$ 21,60, com um desvio padrão 18,00 Mas descobriu-se que o preço médio de uma amostra a<=atória de 16 livros, adquiridos em um ano financeiro (no campo das Ciências Sociais) é de U. Baseado nos dados amostrais, podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros em questão seja de U$ 18,00? Use um nível de significância de 5%.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que, em média, os livros de Ciências Sociais custam 18 dólares. Mas uma amostra de 16 livros mostrou que, na verdade, a média foi de 21,60 dólares, com um desvio padrão de 2,70 dólares. A pergunta é: com esses dados, a gente pode aceitar que o preço médio seja mesmo 18 dólares? Vamos usar um nível de significância de 5% para decidir isso. Vamos precisar usar testes de hipótese para comparar a média da amostra com a média declarada.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( H0) é aquela que queremos testar, assumindo que não há diferença. A hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos verificar se é verdadeiro.
  • Hipótese Nula ( H0): A média dos preços dos livros é 18 dólares.
    H0: mu = 18
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A média dos preços dos livros não é 18 dólares.
    Ha: mu neq 18

Passo 3

Agora, vamos escolher qual teste estatístico usar. Como temos uma amostra pequena (n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student para uma amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste t. A fórmula para o teste t é:
t = barx - musraizn
Onde:
  • barx = 21,60 (média da amostra)
  • mu = 18 (média hipotética)
  • s = 2,70 (desvio padrão da amostra)
  • n = 16 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
t = 21,60 - 182,70raiz16 = 3,602,704 = 3,600,675 approx 5,33

Passo 5

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade df = n - 1 = 15. Como é um teste bicaudal (a média pode ser maior ou menor), dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda.
Consultando a tabela t, para df = 15 e alpha/2 = 0,025, o valor crítico é aproximadamente 2,131.

Passo 6

Vamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico:
  • |t calculado| = 5,33
  • Valor crítico = 2,131
Como 5,33 é maior que 2,131, estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados da amostra e no nível de significância de 5%, não podemos aceitar a afirmação de que o preço médio dos livros é de 18 dólares.

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