Um produto apresenta garantia média de 60 dias com desvio padrão de 20 dias. Um fornecedor vende para uma loja um lote de 100 unidades do produto e garante que a duração média desse lote será superior a 61 dias. O fabricante decide modificar seu discurso e afirma agora que a média amostral do lote não se distanciará da verdadeira média populacional em mais do que 10 dias. Qual a probabilidade do fabricante estar certo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a duração média de garantia de um produto. A média é de 60 dias com um desvio padrão de 20 dias. Um fornecedor vende 100 unidades e garante que a média desse lote será superior a 61 dias. Agora, o fabricante muda a afirmação dizendo que a média do lote não vai se afastar da média real (60 dias) em mais de 10 dias. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade dessa afirmação do fabricante estar certa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística como média, desvio padrão, distribuição normal e o que é a média amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a média amostral. Quando temos uma amostra de 100 unidades, a média dessa amostra (X̄) também tem uma distribuição normal, com a mesma média da população (60 dias) e um desvio padrão menor. O desvio padrão da média amostral (σ_X̄) é calculado dividindo o desvio padrão da população (σ) pelo √n, onde n é o tamanho da amostra.
Então, σ_X̄ = σ / √n = 20 / √100 = 20 / 10 = 2 dias.
Passo 3
Agora, o fabricante está dizendo que a média do lote não vai se afastar da média real em mais de 10 dias. Isso quer dizer que ele está afirmando que a média amostral X̄ está entre 50 e 70 dias (60 ± 10).
Então, queremos calcular a probabilidade P(50 ≤ X̄ ≤ 70).
Passo 4
Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a distribuição normal padrão z, que nos ajuda a encontrar probabilidades usando a média e o desvio padrão.
A fórmula para calcular o valor de z é:
Onde:
- $ X̄ $ é a média amostral,
- $ \mu $ é a média da população,
- $ σ_X̄ $ é o desvio padrão da média amostral.
Passo 5
Vamos calcular os valores de z para os limites inferior (50 dias) e superior (70 dias).
Para X̄ = 50:
Para X̄ = 70:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de z estar entre -5 e 5. Usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, sabemos que praticamente 100% da área está entre esses valores, já que z = -5 e z = 5 estão muito além dos valores comuns de z (geralmente entre -3 e 3).
Passo 7
Portanto, a probabilidade de a média amostral estar entre 50 e 70 dias é praticamente 100%.
Resposta
A probabilidade do fabricante estar certo é praticamente 100%.