Foi coletada uma amostra de tamanho 10 de uma população cuja variável estudada tem distribuição normal de parâmetros mu=2 ; sigma=0,4. Qual a probabilidade da média amostral:
(15.1) ser inferior a 2,21 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma amostra de tamanho 10 de uma população que segue uma distribuição normal com média mu = 2 e desvio padrão sigma = 0,4. A gente quer descobrir qual a probabilidade da média dessa amostra ser menor que 2,21. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, média amostral e padronização (usar o z-score).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a população tem distribuição normal, a média das amostras também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição é a mesma da população, ou seja, mubarX = 2. O desvio padrão da média amostral é dado por sigmabarX = sigmaraizn, onde n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão da média amostral:
sigmabarX = 0,4raiz10 approx 0,43,162 approx 0,1265
Então, a média amostral tem distribuição normal com mubarX = 2 e sigmabarX approx 0,1265.

Passo 4

Agora, queremos achar a probabilidade de que a média amostral seja menor que 2,21. Para isso, vamos padronizar o valor usando o z-score, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 5

A fórmula para o z-score é:
z = barX - mubarXsigmabarX
Substituindo os valores:
z = 2,21 - 20,1265 approx 0,210,1265 approx 1,66

Passo 6

Com o z-score calculado, agora consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a z < 1,66.

Passo 7

Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < 1,66) approx 0,9515
Isso significa que há aproximadamente 95,15% de chance da média amostral ser menor que 2,21.

Resposta

A probabilidade da média amostral ser inferior a 2,21 é de aproximadamente 95,15%.

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