Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.1) triângulo regular inscrito nesta circunferência

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto escolhido de forma aleatória dentro de uma circunferência com raio . A pergunta é: qual a chance desse ponto estar dentro de um triângulo regular inscrito nessa circunferência? Aqui, estamos trabalhando com geometria e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as áreas da circunferência e do triângulo inscrito e depois ver a relação entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da circunferência. A fórmula para a área de um círculo é:
Acírculo = pi R^2 í
Onde é o raio da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do triângulo regular inscrito na circunferência. Um triângulo regular é equilátero, ou seja, todos os lados são iguais e todos os ângulos internos são de 60 graus. Para encontrar a área, precisamos do comprimento do lado do triângulo.
Sabemos que em um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio L = R raiz3 , o comprimento do lado Atriângulo = raiz34 L^2 é:
Atriângulo = raiz34 (R raiz3)^2 = raiz34 times 3 R^2 = 3raiz34 R^2
Agora, a área de um triângulo equilátero é dada por:
â
Substituindo :
â

Passo 4

Agora que temos as áreas da circunferência e do triângulo, vamos calcular a probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente na circunferência estar dentro do triângulo. A probabilidade é a razão entre a área do triângulo e a área da circunferência:
P = AtriânguloAcírculo âí
Substituindo as áreas que calculamos:
P = 3raiz34 R^2pi R^2 = 3raiz34pi

Resposta

A probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro da circunferência de raio P = 3raiz34pi approx 0,4135 ou 41,35% estar dentro do triângulo regular inscrito é:

Exercícios relacionados