Um ponto é escolhido ao acaso dentro de uma circunferência de raio R. Qual a probabilidade deste ponto estar dentro do:
(5.1) triângulo regular inscrito nesta circunferência
(5.1) triângulo regular inscrito nesta circunferência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto escolhido de forma aleatória dentro de uma circunferência com raio
. A pergunta é: qual a chance desse ponto estar dentro de um triângulo regular inscrito nessa circunferência? Aqui, estamos trabalhando com geometria e probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as áreas da circunferência e do triângulo inscrito e depois ver a relação entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da circunferência. A fórmula para a área de um círculo é:
Onde
é o raio da circunferência.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do triângulo regular inscrito na circunferência. Um triângulo regular é equilátero, ou seja, todos os lados são iguais e todos os ângulos internos são de 60 graus. Para encontrar a área, precisamos do comprimento do lado do triângulo.
Sabemos que em um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio
, o comprimento do lado
é:
Agora, a área de um triângulo equilátero é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Agora que temos as áreas da circunferência e do triângulo, vamos calcular a probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente na circunferência estar dentro do triângulo. A probabilidade é a razão entre a área do triângulo e a área da circunferência:
Substituindo as áreas que calculamos:
Resposta
A probabilidade de um ponto escolhido aleatoriamente dentro da circunferência de raio
estar dentro do triângulo regular inscrito é: