Seja X normal . Defina Y como:
Y=c 0 ; Xmu+3 sigma
Obtenha:
(9.2) E(Y) e Var(Y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . A partir de , definimos uma nova variável que assume valores de 0 a 4 dependendo de onde está em relação a e . Nosso objetivo é encontrar o valor esperado e a variância dessa nova variável .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definido:
  • se
  • se
  • se
  • se
  • se

Passo 3

Para calcular e , precisamos primeiro encontrar as probabilidades de assumir cada um desses valores. Isso envolve calcular as probabilidades de estar nos intervalos definidos acima.

Passo 4

Vamos padronizar Z = X - musigma para a distribuição normal padrão , onde:
Assim, os intervalos para ficam:
  • se
  • se
  • se
  • se
  • se

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a cada intervalo de :
Sabemos que, na distribuição normal padrão:

Passo 6

Agora que temos as probabilidades, podemos listar os valores de e suas respectivas probabilidades:
  • com
  • com
  • com
  • com
  • com

Passo 7

Para encontrar o valor esperado E(Y) = sumi yi cdot P(Y = yi) , usamos a fórmula:
E(Y) = 0 cdot 0,0013 + 1 cdot 0,1574 + 2 cdot 0,6826 + 3 cdot 0,1574 + 4 cdot 0,0013
Aplicando os valores:
E(Y) = 0 + 0,1574 + 1,3652 + 0,4722 + 0,0052 = 1,9999999999999998 approx 2

Passo 8

Para encontrar a variância Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 , usamos a fórmula:
E(Y^2) = sumi yi^2 cdot P(Y = yi)
Primeiro, calculamos E(Y^2) = 0^2 cdot 0,0013 + 1^2 cdot 0,1574 + 2^2 cdot 0,6826 + 3^2 cdot 0,1574 + 4^2 cdot 0,0013 :
E(Y^2) = 0 + 0,1574 + 2,7304 + 1,4166 + 0,0208 = 4,3252
Var(Y) = 4,3252 - (2)^2 = 4,3252 - 4 = 0,3252
Agora, calculamos a variância:

Resposta

Portanto, o valor esperado de é e a variância de é .

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