Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e desvio padrão . A partir de , definimos uma nova variável que assume valores de 0 a 4 dependendo de onde está em relação a e . Nosso objetivo é encontrar o valor esperado e a variância dessa nova variável .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está definido:
se
se
se
se
se
Passo 3
Para calcular e , precisamos primeiro encontrar as probabilidades de assumir cada um desses valores. Isso envolve calcular as probabilidades de estar nos intervalos definidos acima.
Passo 4
Vamos padronizar Z = X - musigma para a distribuição normal padrão , onde:
Assim, os intervalos para ficam:
se
se
se
se
se
Passo 5
Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a cada intervalo de :
Sabemos que, na distribuição normal padrão:
Passo 6
Agora que temos as probabilidades, podemos listar os valores de e suas respectivas probabilidades:
com
com
com
com
com
Passo 7
Para encontrar o valor esperado E(Y) = sumi yi cdot P(Y = yi) , usamos a fórmula: