Suponha que as alturas de 3000 estudantes do sexo masculino em uma universidade estão distribuídos normalmente com média 68,0 polegadas e desvio padrão de 3,0 polegadas. Se 80 amostras consistindo de 25 estudantes cada, são obtidas, qual seria a média e o desvio padrão da amostra resultante de médias se a amostragem foi feita sem reposição?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população de N=3000 estudantes com alturas normalmente distribuídas de média \mu=68{,}0 pol e desvio padrão \sigma=3{,}0 pol. Foram retiradas 80 amostras de tamanho n=25 sem reposição, e queremos a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias. Aqui usamos o conceito de distribuição amostral da média e, por ser amostragem sem reposição, aplicamos a correção para população finita.

Passo 2

A média da distribuição amostral das médias é igual à média populacional. Logo,
\mu_{\bar X} = \mu = 68{,}0 \text{ pol}.

Passo 3

O desvio padrão da distribuição amostral (erro padrão) com correção para população finita é
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{N - n}{\,N - 1\,}}.
Substituindo N=3000, n=25 e \sigma=3{,}0,
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3{,}0}{\sqrt{25}} = \frac{3{,}0}{5} = 0{,}6,
\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} = \sqrt{\frac{3000 - 25}{3000 - 1}} = \sqrt{\frac{2975}{2999}} \approx 0{,}996.
Portanto,
\sigma_{\bar X} \approx 0{,}6 \times 0{,}996 \approx 0{,}598 \text{ pol}.

Resposta

Média da distribuição amostral: 68{,}0 pol
Desvio padrão da distribuição amostral: aproximadamente 0{,}598 pol

Exercícios relacionados