1. Quinhentos rolamentos têm um peso médio de 5,02 onças e desvio padrão de 0,30 onças. Encontre a probabilidade de que uma amostra aleatória de 100 rolamentos escolhidos deste grupo tenham um peso combinado (a) entre 496 e 500 onças, (b) de mais do que 510 onças.

Passo 1

O enunciado dá uma população de N=500 rolamentos com peso individual tendo média \mu=5,02 onças e desvio padrão \sigma=0,30 onças. Vamos escolher uma amostra de tamanho n=100 e estudar a soma dos pesos dessa amostra. O conteúdo aqui é a distribuição amostral da soma e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande a soma S de n observações independe­ntes é aproximadamente normal com \mu_S = n\,\mu e \sigma_S = \sqrt{n}\,\sigma. Assim, \mu_S = 100 \times 5,02 = 502 onças \sigma_S = \sqrt{100}\times 0,30 = 3 onças

Passo 3

(a) Queremos
P\bigl(496 < S < 500\bigr) = P\!\Bigl(\frac{496-502}{3} < Z < \frac{500-502}{3}\Bigr) = P(-2 < Z < -0,667).
Das tabelas de Z: \Phi(-0,667)\approx 0,2525 e \Phi(-2)\approx 0,0228.
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P(-2<Z<-0,667)=0,2525-0,0228=0,2297.

Passo 4

(b) Queremos
P(S>510) = P\!\Bigl(Z>\frac{510-502}{3}\Bigr) = P(Z>2,667).
Pela tabela de Z, \Phi(2,667)\approx 0,9962. Então
P(Z>2,667)=1-0,9962=0,0038.

Resposta

(a) 0,2297 (aprox.\ 22,97 %)
(b) 0,0038 (aprox.\ 0,38 %)

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