4^ a ) Foi preciso adicionar um termo vetorial X a uma das equações de Maxwell para que a teoria ficasse consistente. Mostre, por passos lógicos, como achar esse termo X que faltava.
nabla times B=mu0 J+X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma das equações de Maxwell que foi alterada adicionando um termo vetorial X . Nosso objetivo é descobrir qual é esse termo X que faltava para deixar a teoria consistente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Maxwell e como elas se relacionam para manter a consistência da teoria eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as quatro equações de Maxwell. Elas são fundamentais para descrever como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. As equações são:
  1. Lei de Gauss para a eletricidade:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
  1. Lei de Gauss para o magnetismo:
nabla cdot B = 0
  1. Lei de Faraday da indução:
nabla times E = -partial Bpartial t
  1. Lei de Ampère-Maxwell:
nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
No enunciado, a equação dada é uma variação da Lei de Ampère-Maxwell, onde foi adicionada a termo X :
nabla times B = mu0 J + X

Passo 3

Para encontrar o que falta no termo X , precisamos garantir que as equações de Maxwell sejam consistentes entre si. Uma forma de verificar isso é usando a Lei de Conservação da Carga, que afirma que a carga elétrica não pode ser criada nem destruída, apenas transferida.
Matematicamente, a Lei de Conservação da Carga é expressa pela equação de continuidade:
nabla cdot J + partial rhopartial t = 0

Passo 4

Vamos aplicar o operador divergente ( nabla cdot ) na equação modificada de Ampère-Maxwell:
nabla cdot (nabla times B) = nabla cdot (mu0 J + X)
Sabemos que o divergente do rotor de qualquer campo vetorial é sempre zero:
nabla cdot (nabla times B) = 0
Então, temos:
0 = mu0 nabla cdot J + nabla cdot X

Passo 5

Agora, usamos a equação de continuidade:
nabla cdot J = -partial rhopartial t
Substituindo na equação anterior:
0 = -mu0 partial rhopartial t + nabla cdot X
nabla cdot X = mu0 partial rhopartial t

Passo 6

Para que essa igualdade seja satisfeita de forma geral, precisamos que X seja relacionado à variação do campo elétrico no tempo. Nos lembra que na Lei de Ampère-Maxwell original, o termo faltante é justamente o corrente de deslocamento:
X = mu0 varepsilon0 partial Epartial t

Passo 7

Vamos verificar se esse termo satisfaz a equação de continuidade. Calculando o divergente de X :
nabla cdot X = mu0 varepsilon0 nabla cdot ( partial Epartial t )
= mu0 varepsilon0 partialpartial t (nabla cdot E)
]
]
Usando a primeira equação de Maxwell:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Rightarrow partialpartial t (nabla cdot E) = 1varepsilon0 partial rhopartial t
Substituindo de volta:
nabla cdot X = mu0 varepsilon0 cdot 1varepsilon0 partial rhopartial t = mu0 partial rhopartial t
Isso confirma que nosso X satisfaz a equação de continuidade.

Resposta

O termo vetorial que faltava é o corrente de deslocamento, dado por:
X = mu0 varepsilon0 partial Epartial t

Exercícios relacionados