) Foi preciso adicionar um termo vetorial
a uma das equações de Maxwell para que a teoria ficasse consistente. Mostre, por passos lógicos, como achar esse termo
que faltava.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma das equações de Maxwell que foi alterada adicionando um termo vetorial
. Nosso objetivo é descobrir qual é esse termo
que faltava para deixar a teoria consistente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as equações de Maxwell e como elas se relacionam para manter a consistência da teoria eletromagnética.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as quatro equações de Maxwell. Elas são fundamentais para descrever como os campos elétrico e magnético se comportam e interagem. As equações são:
- Lei de Gauss para a eletricidade:
- Lei de Gauss para o magnetismo:
- Lei de Faraday da indução:
- Lei de Ampère-Maxwell:
No enunciado, a equação dada é uma variação da Lei de Ampère-Maxwell, onde foi adicionada a termo
:
Passo 3
Para encontrar o que falta no termo
, precisamos garantir que as equações de Maxwell sejam consistentes entre si. Uma forma de verificar isso é usando a Lei de Conservação da Carga, que afirma que a carga elétrica não pode ser criada nem destruída, apenas transferida.
Matematicamente, a Lei de Conservação da Carga é expressa pela equação de continuidade:
Passo 4
Vamos aplicar o operador divergente (
) na equação modificada de Ampère-Maxwell:
Sabemos que o divergente do rotor de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Então, temos:
Passo 5
Agora, usamos a equação de continuidade:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Para que essa igualdade seja satisfeita de forma geral, precisamos que
seja relacionado à variação do campo elétrico no tempo. Nos lembra que na Lei de Ampère-Maxwell original, o termo faltante é justamente o corrente de deslocamento:
Passo 7
Vamos verificar se esse termo satisfaz a equação de continuidade. Calculando o divergente de
:
]
]
Usando a primeira equação de Maxwell:
Substituindo de volta:
Isso confirma que nosso
satisfaz a equação de continuidade.
Resposta
O termo vetorial que faltava é o corrente de deslocamento, dado por: