1. A partir da origem O do sistema de coordenadas, um projétil é lançado com velocidade de 50 m / s na direção de 30^circ em relação ao eixo x no sentido para frente. Considere g=9,8 m / s^2 o valor da aceleração da gravidade.
    a) Determine as componentes x e y da velocidade v0.
    b) Determine a equação da velocidade v(t).
    c) Determine a equação da posição r(t)
    res.: O projétil parte da origem, então a posição inicial é r0=0 x+0 y. A partir dos resutados anteriores, obtemos que a equação da posição é dada por: r(t)=(25 raiz3 ms t) x+(25 ms t-9,82 ms^2 t^2) y
    d) Calcule a equação da trajetória
    e) Cálcule o alcance horizontal
    f) Calcule o instante em que ele atinge a altura máxima
    g) Calcule a altura máxima.

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo de projétil a partir da origem com velocidade inicial ,v0 = 50 m/s formando ângulo ,30^circ acima do eixo x. A gravidade atua como aceleração constante -g,hat y com g = 9,8 m/s^2. Para resolver, vamos:
1. decompor vec v0 em hat x e hat y,
2. usar equação vetorial da velocidade vec v(t) sob aceleração constante,
3. integrar para obter posição vec r(t),
4. eliminar t para achar a trajetória y(x),
5. usar condições de y=0 e derivadas para alcance, tempo e altura máxima.

Passo 2

Para achar as componentes de vec v0 usamos trigonometria:
v0x = v0 cos 30^circ = 50 cdot raiz32 = 25raiz3 m/s,
v0y = v0 sin 30^circ = 50 cdot 12 = 25 m/s

Passo 3

Como a única aceleração é vec a = -g,hat y, a velocidade em função do tempo é
vec v(t) = v0x,hat x + l(v0y - g,tr),hat y = l(25raiz3r),hat x + l(25 - 9,8,tr),hat yl[m/sr]

Passo 4

Integrando vec v(t) em t e lembrando que vec r(0)=vec0, temos
vec r(t) = integral0^t vec v(tau),dtau = l(v0x,tr),hat x + l(v0y,t - tfrac12 g,t^2r),hat y
vec r(t) = l(25raiz3,tr),hat x + l(25,t - tfrac9,82,t^2r),hat y l[mr]

Passo 5

Para a trajetória, isolamos t = x/v0x e substituímos em y(t):
y(x) = v0y,xv0x - g2l(xv0xr)^!2 = xtan30^circ - g2,v0x^2,x^2
Como tan30^circ = 1/raiz3 e v0x=25raiz3,
y(x) = 1raiz3,x - 9,82,(25raiz3)^2,x^2 = xraiz3 - 9,83750,x^2

Passo 6

O alcance horizontal ocorre quando y=0 em t>0. O tempo total de voo é
trm voo = 2,v0yg = 2cdot259,8 approx 5,102 s
Logo o alcance é
xmax = v0x,trm voo = 25raiz3 cdot 509,8 approx 221,0 m

Passo 7

O instante de altura máxima é quando vy(t)=0:
tmax = v0yg = 259,8 approx 2,551 s

Passo 8

A altura máxima é y(tmax):
ymax = v0y,tmax - tfrac12,g,tmax^2 = v0y^22g = 25^22cdot9,8 approx 31,9 m

Resposta

a) v0x=25raiz3 m/s, v0y=25 m/s
b) v(t)=25raiz3,x+l(25-9,8,tr),y (m/s)
c) r(t)=l(25raiz3,tr),x+l(25,t-tfrac9,82t^2r),y (m)
d) y(x)=xraiz3-9,83750,x^2.
e) xmaxapprox221,0 m
f) tmaxapprox2,551 s
g) ymaxapprox31,9 m

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