1. Foi realizada uma pesquisa sobre preferências partidárias, perguntando aos entrevistados se já haviam votado nos partidos A, B, C ou D. A pesquisa trouxe à luz os seguintes fatos:
    Do total de 130 pessoas entrevistadas, 17 já votaram no partido D.
    Estas pessoas que já votaram no partido D nunca votaram em outro partido.
    60 pessoas já votaram no partido A
    50 pessoas já votaram no partido B
    70 pessoas já votaram no partido C
    30 pessoas já votaram nos partidos A e C
    25 pessoas já votaram nos partidos B e C
    22 pessoas já votaram nos partidos A e B.
    Sabendo que todos os 130 entrevistados já votaram em algum dos 4 partidos mencionados, determine:
    (a) Quantas pessoas já votaram nos 3 partidos?
    (b) Quantas pessoas só votaram no partido A?
    (c) Quantas pessoas só votaram em um partido?
    (d) Quantas pessoas já votaram em exatamente dois partidos?
    Represente a situação, por meio de um diagrama de Venn.

Passo 1

O enunciado nos dá uma pesquisa com 130 pessoas sobre votos em quatro partidos A, B, C e D. Sabemos que
|A|=60, |B|=50, |C|=70, |D|=17
e que essas 17 pessoas de D nunca votaram em outro partido (ou seja, D é disjunto de A, B e C). Além disso:
|Acap B|=22, |Acap C|=30, |Bcap C|=25
Como todos os 130 entrevistados votaram em algum dos quatro partidos, queremos aplicar o princípio da inclusão-exclusão para determinar:
(a) |Acap Bcap C|,
(b) número só em A,
(c) número que votou em exatamente um partido,
(d) número que votou em exatamente dois partidos.

Passo 2

Primeiro, note que
|Acup Bcup C| = 130 - |D| = 130 - 17 = 113
Pelo princípio da inclusão-exclusão em três conjuntos:
|Acup Bcup C| = |A|+|B|+|C| - |Acap B|-|Acap C|-|Bcap C| + |Acap Bcap C|
Substituindo os valores conhecidos e chamando x=|Acap Bcap C|, temos
113 = 60+50+70 - 22 - 30 - 25 + x ;Longrightarrow; 113 = 103 + x ;Longrightarrow; x = 10
Logo, |Acap Bcap C|=10.

Passo 3

Para achar quem votou em exatamente dois partidos, subtraímos o triple overlap:
|Acap B|exato =22 - 10 =12, |Acap C|exato =30 - 10 =20, |Bcap C|exato =25 - 10 =15

Passo 4

Para saber quantas pessoas só votaram em A, descontamos todas as intersecções que envolvem A:
l|só Ar| = |A| - l(|Acap B|exato + |Acap C|exato + |Acap Bcap C|r) = 60 - (12+20+10) = 18 ó
De modo análogo:
l|só Br| = 50 - (12+15+10) = 13, l|só Cr| = 70 - (20+15+10) = 25, óó
e já sabemos l|só Dr|=17ó.

Passo 5

Agora agrupamos:
– Quem votou em exatamente um partido
18 + 13 + 25 + 17 = 73
– Quem votou em exatamente dois partidos
12 + 20 + 15 = 47

Passo 6

Representação em diagrama de Venn (conjuntos A, B, C sobrepostos e D disjunto):
  • Região central Acap Bcap C = 10.
  • Somente Acap B (não em C) =12.
  • Somente Acap C (não em B) =20.
  • Somente Bcap C (não em A) =15.
  • A =18, só B =13, só C =25.
  • Todo o conjunto D (disjunto) =17.

Resposta

(a) 10
(b) 18
(c) 73
(d) 47
Diagrama de Venn conforme descrito acima.

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