Foi realizada uma pesquisa sobre preferências partidárias, perguntando aos entrevistados se já haviam votado nos partidos A, B, C ou D. A pesquisa trouxe à luz os seguintes fatos:
Do total de 130 pessoas entrevistadas, 17 já votaram no partido D.
Estas pessoas que já votaram no partido D nunca votaram em outro partido.
60 pessoas já votaram no partido A
50 pessoas já votaram no partido B
70 pessoas já votaram no partido C
30 pessoas já votaram nos partidos A e C
25 pessoas já votaram nos partidos B e C
22 pessoas já votaram nos partidos A e B.
Sabendo que todos os 130 entrevistados já votaram em algum dos 4 partidos mencionados, determine:
(a) Quantas pessoas já votaram nos 3 partidos?
(b) Quantas pessoas só votaram no partido A?
(c) Quantas pessoas só votaram em um partido?
(d) Quantas pessoas já votaram em exatamente dois partidos?
Represente a situação, por meio de um diagrama de Venn.
Passo 1
O enunciado nos dá uma pesquisa com pessoas sobre votos em quatro partidos , , e . Sabemos que
e que essas pessoas de nunca votaram em outro partido (ou seja, é disjunto de , e ). Além disso:
Como todos os entrevistados votaram em algum dos quatro partidos, queremos aplicar o princípio da inclusão-exclusão para determinar:
(a) ,
(b) número só em ,
(c) número que votou em exatamente um partido,
(d) número que votou em exatamente dois partidos.
Passo 2
Primeiro, note que
Pelo princípio da inclusão-exclusão em três conjuntos:
Substituindo os valores conhecidos e chamando , temos
Logo, .
Passo 3
Para achar quem votou em exatamente dois partidos, subtraímos o triple overlap:
Passo 4
Para saber quantas pessoas só votaram em , descontamos todas as intersecções que envolvem :