Nas questões 3, 4 e 5, sejam A, B e C subconjuntos de um mesmo conjunto universo U. Sabendo-se que: n(U)=100, n(A)=30, n(B)=25, n(C)=36, n(A cap B)=6, n(A cap C)=10, n(B cap C)=14 e n(A cap B cap C)=4, determine:
(a) n(A cup(B cap C))
(b) n(A c cap B c cap C c)
(c) n((A c cap B c cap C c) c)

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são subconjuntos de um universo U com
n(U)=100, n(A)=30, n(B)=25, n(C)=36,
n(Acap B)=6, n(Acap C)=10, n(Bcap C)=14, n(Acap Bcap C)=4
Precisamos achar
(a) nl(Acup (Bcap C)r),
(b) nl(A^ccap B^ccap C^cr),
(c) nl((A^ccap B^ccap C^c)^cr).

Passo 2

Para (a) usamos a fórmula
nl(Acup (Bcap C)r) = n(A) + n(Bcap C) - nl(Acap (Bcap C)r)
Como Acap(Bcap C)=Acap Bcap C, fica
nl(Acup (Bcap C)r) =30 + 14 - 4 = 40

Passo 3

Em (b) note que
A^ccap B^ccap C^c = (Acup Bcup C)^c,
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nl(A^ccap B^ccap C^cr) = n(U) - n(Acup Bcup C)
Para n(Acup Bcup C) aplicamos a inclusão–exclusão:
n(Acup Bcup C) = n(A)+n(B)+n(C) - n(Acap B)-n(Acap C)-n(Bcap C) + n(Acap Bcap C)
Substituindo os valores:
n(Acup Bcup C) =30 + 25 + 36 - 6 - 10 - 14 + 4 = 65
Portanto
nl(A^ccap B^ccap C^cr) =100 - 65 = 35

Passo 4

Para (c) usamos De Morgan outra vez:
(A^ccap B^ccap C^c)^c = Acup Bcup C,
então
nl((A^ccap B^ccap C^c)^cr) = n(Acup Bcup C) = 65

Resposta

(a) 40
(b) 35
(c) 65

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