- Uma pesquisa em um supermercado mostrou que, entre 150 consumidores, 60 compram uma marca
de sabão em pó, 40 compram uma marca B e 30 compram uma marca C. Dos entrevistados, 10 compram as três marcas, 20 compram as marcas A e B, 15 compram as marcas A e C e 10 compram as marcas B e C. Com base nestes dados, determine:
(a) Quantos consumidores compram alguma das tres marcas.
(b) Quantos consumidores compram apenas a marca A.
(c) Quantos consumidores compram as marcas A ou B, mas não a marca C.
(d) Quantos compram exatamente duas das marcas.
(e) Quantos compram apenas uma das marcas.
(f) Quantos dos consumidores não compram nenhuma das marcas.
(a) Quantos consumidores compram alguma das tres marcas.
(b) Quantos consumidores compram apenas a marca A.
(c) Quantos consumidores compram as marcas A ou B, mas não a marca C.
(d) Quantos compram exatamente duas das marcas.
(e) Quantos compram apenas uma das marcas.
(f) Quantos dos consumidores não compram nenhuma das marcas.
Passo 1
O enunciado nos dá um universo de
consumidores e três conjuntos de compradores:
com
,
com
,
com
.
As interseções são
,
,
,
.
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos, usando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.
As interseções são
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos, usando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.
Passo 2
Calculamos quantos compram pelo menos uma marca, isto é,
Substituindo os valores:
Passo 3
Quem compra apenas a marca
é quem está em
mas não em
nem em
. Logo,
Passo 4
Quem compra
ou
mas não
é
Primeiro
. Desses, compram também
os que estão em
, cuja conta é
Logo quem está em
ou
sem
é
.
Passo 5
Quem compra exatamente duas marcas corresponde a cada interseção de pares, excluindo o triplo:
Isso dá
Passo 6
Quem compra exatamente uma marca é a soma de “só
”, “só
” e “só
”. Já temos “só
”. Analogamente,
Somando:
.
Passo 7
Quem não compra nenhuma das marcas é o complemento de quem compra alguma, logo
Resposta
(a)
consumidores compram alguma das três marcas.
(b) consumidores compram apenas a marca
.
(c) consumidores compram
ou
mas não
.
(d) consumidores compram exatamente duas marcas.
(e) consumidores compram apenas uma marca.
(f) consumidores não compram nenhuma das marcas.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)