1. Uma pesquisa em um supermercado mostrou que, entre 150 consumidores, 60 compram uma marca A de sabão em pó, 40 compram uma marca B e 30 compram uma marca C. Dos entrevistados, 10 compram as três marcas, 20 compram as marcas A e B, 15 compram as marcas A e C e 10 compram as marcas B e C. Com base nestes dados, determine:
    (a) Quantos consumidores compram alguma das tres marcas.
    (b) Quantos consumidores compram apenas a marca A.
    (c) Quantos consumidores compram as marcas A ou B, mas não a marca C.
    (d) Quantos compram exatamente duas das marcas.
    (e) Quantos compram apenas uma das marcas.
    (f) Quantos dos consumidores não compram nenhuma das marcas.

Passo 1

O enunciado nos dá um universo de 150 consumidores e três conjuntos de compradores:
;A com lvert Arvert=60,
;B com lvert Brvert=40,
;C com lvert Crvert=30.
As interseções são
lvert Acap Brvert=20,
lvert Acap Crvert=15,
lvert Bcap Crvert=10,
lvert Acap Bcap Crvert=10.
O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos, usando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos.

Passo 2

Calculamos quantos compram pelo menos uma marca, isto é,
lvert Acup Bcup Crvert = lvert Arvert + lvert Brvert + lvert Crvert - l(lvert Acap Brvert + lvert Acap Crvert + lvert Bcap Crvertr) + lvert Acap Bcap Crvert
Substituindo os valores:
lvert Acup Bcup Crvert = 60 + 40 + 30 - (20 + 15 + 10) + 10 = 130 - 45 + 10 = 95

Passo 3

Quem compra apenas a marca A é quem está em A mas não em B nem em C. Logo,
lvert Asetminus(Bcup C)rvert = lvert Arvert - lvert Acap Brvert - lvert Acap Crvert + lvert Acap Bcap Crvert = 60 - 20 - 15 + 10 = 35

Passo 4

Quem compra A ou B mas não C é
l(Acup Br)setminus C
Primeiro lvert Acup Brvert = 60+40-20=80. Desses, compram também C os que estão em (Acup B)cap C, cuja conta é
lvert (Acap C)cup(Bcap C)rvert = 15 + 10 - 10 = 15
Logo quem está em A ou B sem C é 80 - 15 = 65.

Passo 5

Quem compra exatamente duas marcas corresponde a cada interseção de pares, excluindo o triplo:
l(lvert Acap Brvert - lvert Acap Bcap Crvertr) + l(lvert Acap Crvert - lvert Acap Bcap Crvertr) + l(lvert Bcap Crvert - lvert Acap Bcap Crvertr)
Isso dá
(20-10) + (15-10) + (10-10) = 10 + 5 + 0 = 15

Passo 6

Quem compra exatamente uma marca é a soma de “só A”, “só B” e “só C”. Já temos “só A =35”. Analogamente,
lvert Bsetminus(Acup C)rvert = 40 - 20 - 10 + 10 = 20,
lvert Csetminus(Acup B)rvert = 30 - 15 - 10 + 10 = 15
Somando: 35 + 20 + 15 = 70.

Passo 7

Quem não compra nenhuma das marcas é o complemento de quem compra alguma, logo
150 - lvert Acup Bcup Crvert = 150 - 95 = 55

Resposta

(a) 95 consumidores compram alguma das três marcas.
(b) 35 consumidores compram apenas a marca A.
(c) 65 consumidores compram A ou B mas não C.
(d) 15 consumidores compram exatamente duas marcas.
(e) 70 consumidores compram apenas uma marca.
(f) 55 consumidores não compram nenhuma das marcas.

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