Utilize o resultado do exercício anterior para calcular a energia potencial de interação entre dois dipolos \vec{p}_{1} e \vec{p}_{2}, sendo \vec{r} o vetor de posição de \vec{p}_{2} em relação a \vec{p}_{1} (com |r| muito maior que as dimensões dos dipolos).
a) Obtenha o resultado geral.
b) Particularize para dipolos alinhados com \vec{r}, paralelos ou antiparalelos.
c) Particularize para dipolos perpendiculares a \vec{r}, paralelos ou antiparalelos.
d) Qual das quatro situações em (b) e (c) é energeticamente favorecida?
e) Nesse caso mais favorecido, calcule a energia de interação dipolar entre duas moléculas de água à distância de 5 \AA uma da outra e compare-a com a energia térmica k_{B} T à temperatura ambiente ( 300 K e k_{B}=1,38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K} é a constante de Boltzmann). O momento de dipolo elétrico permanente de uma molécula de água é de 6,2 \times 10^{-30} \mathrm{C} . \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia potencial de interação entre dois dipolos elétricos \vec p_{1} e \vec p_{2} afastados por \vec r (com |\vec r| muito maior que as dimensões dos dipolos). O conteúdo envolve o campo de um dipolo e a energia potencial de um dipolo num campo elétrico, usando
U = -\,\vec p_{2}\cdot \vec E_{1}(\vec r)
e
\vec E_{1}(\vec r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}\Bigl[3(\vec p_{1}\cdot\hat r)\,\hat r \;-\;\vec p_{1}\Bigr]\,.

Passo 2

Aplicando U = -\vec p_{2}\cdot \vec E_{1}, temos
U(\vec r) = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}\Bigl[3(\vec p_{1}\cdot\hat r)(\vec p_{2}\cdot\hat r)\;-\;(\vec p_{1}\cdot\vec p_{2})\Bigr]\,.
Esse é o resultado geral.

Passo 3

Particularizando para dipolos colineares a \vec r:
  • Se \vec p_{1} e \vec p_{2} ambos alinhados com \hat r (paralelos), então \vec p_{1}\cdot\hat r = p_{1}, \vec p_{2}\cdot\hat r = p_{2} e \vec p_{1}\cdot\vec p_{2}=p_{1}p_{2}. Logo
U_{\parallel} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\bigl[3\,p_{1}p_{2}-p_{1}p_{2}\bigr] = -\frac{2\,p_{1}p_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}<0.
  • Se forem antiparalelos, \vec p_{2}\cdot\hat r = -p_{2} e \vec p_{1}\cdot\vec p_{2}=-p_{1}p_{2}, resultando
U_{\rm anti} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\bigl[-3\,p_{1}p_{2}+p_{1}p_{2}\bigr] = +\frac{2\,p_{1}p_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}>0.

Passo 4

Para dipolos perpendiculares a \vec r:
  • Se \vec p_{1}\perp\hat r e \vec p_{2}\perp\hat r, então \vec p_{1}\cdot\hat r=0, \vec p_{2}\cdot\hat r=0 e \vec p_{1}\cdot\vec p_{2}=\pm p_{1}p_{2}. Assim
U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}r^{3}}\bigl[0 - (\pm p_{1}p_{2})\bigr] = \pm\frac{p_{1}p_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}.
U=+p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3})>0 para paralelos e U=-p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3})<0 para antiparalelos.

Passo 5

Entre as quatro situações, a mais energeticamente favorecida é a que dá U mais negativo em módulo, ou seja, dipolos paralelos a \vec r, pois aí
U_{\parallel} = -\frac{2\,p_{1}p_{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}
é o valor mínimo.

Passo 6

No caso de duas moléculas de água idênticas ( p=6{,}2\times10^{-30}\,\mathrm{C\cdot m}) separadas por r=5\,\text{\AA}=5\times10^{-10}\,\mathrm m, usando
\displaystyle \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, obtemos
U = -\frac{2\,p^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}} \approx -5{,}5\times10^{-21}\,\mathrm J.
A energia térmica a T=300 K é
k_{B}T = (1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K})\times300 \approx4{,}1\times10^{-21}\,\mathrm J.
Logo \lvert U\rvert\approx1{,}3\,k_{B}T, da mesma ordem de grandeza da energia térmica.

Resposta

a) \displaystyle U(\vec r)=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{3}}\bigl[3(\vec p_{1}\!\cdot\!\hat r)(\vec p_{2}\!\cdot\!\hat r)-\vec p_{1}\!\cdot\!\vec p_{2}\bigr].
b) Paralelos a \vec r: U=-2p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3}) (atrai); antiparalelos: U=+2p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3}).
c) Perpendiculares a \vec r: paralelos entre si U=+p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3}); antiparalelos U=-p_{1}p_{2}/(4\pi\varepsilon_{0}r^{3}).
d) Mais favorecida: dipolos paralelos a \vec r.
e) Para água a r=5,\AA: U\approx-5{,}5\times10^{-21}\,\mathrm J\approx-1{,}3\,k_{B}T.

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