Uma folha de papel plana e retangular é dividida em três partes retangulares e congruentes de duas maneiras distintas, referenciadas à largura e ao comprimento da folha de papel. Na primeira, a medida do menor lado de cada parte é igual a 4 cm e, analogamente, na segunda, a medida do menor lado de cada parte é igual a 5 cm. Nessas condições, a medida, em cm, da diagonal da folha de papel é igual a
a) 4√41.
b) 3√41.
c) 6√39.
d) 5√39.
a) 4√41.
b) 3√41.
c) 6√39.
d) 5√39.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre geometria envolvendo retângulos e divisões de uma folha de papel. A gente precisa descobrir a medida da diagonal dessa folha. Para isso, vamos usar conceitos de divisão de retângulos e o teorema de Pitágoras para calcular a diagonal. Vamos precisar entender como a folha é dividida em partes menores e encontrar as dimensões da folha inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a folha de papel como um retângulo com comprimento $ L $ e largura $ W $.
Passo 3
A folha é dividida em três partes retangulares congruentes de duas maneiras diferentes:
- Primeira divisão: A menor medida de cada parte é 4 cm.
- Segunda divisão: A menor medida de cada parte é 5 cm.
Vamos analisar cada divisão separadamente para encontrar as relações entre $ L $ e $ W $.
Passo 4
Primeira Divisão: Menor lado = 4 cm
Aqui, a folha é dividida de uma maneira que a menor medida de cada parte é 4 cm. Existem duas possibilidades:
- Dividir a folha ao longo do comprimento $ L $, então cada parte teria largura $ W $ e comprimento $ \frac{L}{3} $.
- Dividir a folha ao longo da largura $ W $, então cada parte teria comprimento $ L $ e largura $ \frac{W}{3} $.
Como a menor medida de cada parte é 4 cm, vamos considerar a menor dimensão em cada caso.
Se dividirmos ao longo do comprimento:
- A largura $ W $ de cada parte seria 4 cm (menor lado).
Então, $ W = 4 $ cm.
Passo 5
Segunda Divisão: Menor lado = 5 cm
Agora, a folha é dividida de outra maneira, onde a menor medida de cada parte é 5 cm. Usando a mesma lógica:
Se dividirmos ao longo da largura:
- A largura de cada parte seria $ \frac{W}{3} $.
Sabemos que a menor medida é 5 cm:
$ \frac{W}{3} = 5 $ cm
Passo 6
Agora, temos duas equações:
- $ W = 4 $ cm
- $ \frac{W}{3} = 5 $ cm
Mas aqui parece ter uma contradição, já que $ W $ não pode ser 4 e 15 ao mesmo tempo. Então, precisamos revisar nossa abordagem. A chave está em perceber que a divisão é feita de duas maneiras diferentes: em uma divisão, o menor lado é a largura $ W $, e na outra divisão, o menor lado é o comprimento $ L $.
Passo 7
Vamos considerar:
-
Primeira divisão: dividido ao longo do comprimento $ L $, então cada parte tem dimensões $ \frac{L}{3} $ (comprimento) e $ W $ (largura). Aqui, o menor lado é $ W = 4 $ cm.
-
Segunda divisão: dividido ao longo da largura $ W $, então cada parte tem dimensões $ L $ (comprimento) e $ \frac{W}{3} $ (largura). Aqui, o menor lado é $ \frac{W}{3} = 5 $ cm.
Agora, temos:
- $ W = 4 $ cm
- $ \frac{W}{3} = 5 $ cm
Passo 8
Vamos resolver a segunda equação para encontrar $ W $:
$ \frac{W}{3} = 5 $
Multiplicando ambos os lados por 3:
$ W = 15 $ cm
Mas isso entra em conflito com a primeira equação $ W = 4 $ cm. Isso indica que fizemos uma suposição errada. Na verdade, na segunda divisão, o menor lado pode ser o comprimento $ L $, não a largura dividida.
Passo 9
Vamos corrigir:
-
Primeira divisão: dividido ao longo do comprimento $ L $, cada parte tem $ \frac{L}{3} $ e $ W $. Menor lado: $ W = 4 $ cm.
-
Segunda divisão: dividido ao longo da largura $ W $, cada parte tem $ L $ e $ \frac{W}{3} $. Aqui, o menor lado é $ L $, já que $ L < \frac{W}{3} $.
Então, na segunda divisão:
$ L = 5 $ cm
Passo 10
Agora temos:
- $ W = 4 $ cm
- $ L = 5 $ cm
A folha de papel tem comprimento $ L = 5 $ cm e largura $ W = 4 $ cm.
Passo 11
Agora, vamos encontrar a diagonal da folha usando o teorema de Pitágoras. A diagonal $ D $ de um retângulo é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 12
Mas precisamos ajustar para ver qual alternativa corresponde a essa expressão. Observando as opções:
a) $ 4\sqrt{41} $
b) $ 3\sqrt{41} $
c) $ 6\sqrt{39} $
d) $ 5\sqrt{39} $
Percebemos que a diagonal é $ \sqrt{41} $, mas multiplicada por qual fator para corresponder à folha inteira?
Na verdade, verificamos que as medidas $ L = 5 $ cm e $ W = 12 $ cm (já que $ \frac{W}{3} = 4 $ cm implica $ W = 12 $ cm). Vamos refazer os cálculos.
Passo 13
Reavaliando as divisões:
-
Primeira divisão: menor lado = 4 cm, então $ W = 4 $ cm.
-
Segunda divisão: menor lado = 5 cm, então $ L = 5 $ cm.
Mas se $ W = 4 $ cm na primeira divisão, na segunda divisão, ao dividir a largura em 3 partes, teríamos $ \frac{4}{3} $ cm, que não é 5 cm. Portanto, há uma inconsistência. Vamos redefinir:
Primeira divisão: menor lado = 4 cm, então $ \frac{L}{3} = 4 $ cm, logo $ L = 12 $ cm.
Segunda divisão: menor lado = 5 cm, então $ \frac{W}{3} = 5 $ cm, logo $ W = 15 $ cm.
Agora, a diagonal $ D = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} = 3\sqrt{41} $.
Resposta
A medida da diagonal da folha de papel é igual a 3√41 cm.