Uma folha de papelão quadrada com
é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível?
Passo 1
O enunciado diz que temos um pedaço de papelão quadrado com área
, ou seja, lado
. Cortamos em cada canto um quadrado de lado
(em metros) e dobramos as abas para formar uma caixa sem tampa. O que precisamos é modelar o volume dessa caixa como função de
e então usar cálculo diferencial para encontrar o valor de
que maximiza esse volume.
Passo 2
Depois de cortar quadrados de lado
nas quatro pontas, as dimensões da base da caixa passam a ser
e a altura fica
. Logo, a função volume é
Passo 3
Para a caixa existir, precisamos ter todas as arestas positivas, ou seja
Esse é o domínio em que vamos buscar o máximo de
.
Passo 4
Vamos derivar
. Primeiro expandimos ou aplicamos a regra do produto:
Então
Para achar pontos críticos, resolvemos
Dividindo por 4, vem
cuja fórmula de Bhaskara dá as raízes
ou seja
e
.
Passo 5
Como
torna o volume zero (a base colapsa) e
também, o único candidato interno que gera um volume positivo é
. Logo, é aí que
atinge seu valor máximo no intervalo
.
Resposta
O lado do quadrado a ser cortado deve ser
metro.