Uma folha de papelão quadrada com 16 m^2 é usada para fazer uma caixa aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caixa com o maior volume possível?

Passo 1

O enunciado diz que temos um pedaço de papelão quadrado com área ,16,m^2, ou seja, lado raiz16=4,m. Cortamos em cada canto um quadrado de lado x (em metros) e dobramos as abas para formar uma caixa sem tampa. O que precisamos é modelar o volume dessa caixa como função de x e então usar cálculo diferencial para encontrar o valor de x que maximiza esse volume.

Passo 2

Depois de cortar quadrados de lado x nas quatro pontas, as dimensões da base da caixa passam a ser
(4-2x)times(4-2x),
e a altura fica x. Logo, a função volume é
V(x) = x,(4-2x)^2

Passo 3

Para a caixa existir, precisamos ter todas as arestas positivas, ou seja
x>0 e 4-2x>0 ;Longrightarrow; 0<x<2
Esse é o domínio em que vamos buscar o máximo de V(x).

Passo 4

Vamos derivar V(x). Primeiro expandimos ou aplicamos a regra do produto:
V(x)=xl(16 -16x +4x^2r)=16x -16x^2 +4x^3
Então
V'(x)=16 -32x +12x^2
Para achar pontos críticos, resolvemos
V'(x)=0 ;Longrightarrow; 12x^2 -32x +16=0
Dividindo por 4, vem
3x^2 -8x +4=0,
cuja fórmula de Bhaskara dá as raízes
x=8pmraiz64-486 =8pm46,
ou seja x=2 e x=tfrac23.

Passo 5

Como x=2 torna o volume zero (a base colapsa) e V(0)=0 também, o único candidato interno que gera um volume positivo é x=tfrac23. Logo, é aí que V(x) atinge seu valor máximo no intervalo (0,2).

Resposta

O lado do quadrado a ser cortado deve ser tfrac23 metro.

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