O fólio de Descartes é a curva de equação x^3+y^3=3axy, em que a neq 0 é uma constante.
Mostre que, para t neq 1, a reta y=tx intersecta o fólio na origem e em outro ponto P. Expresse as coordenadas de P em termos de t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva do folio de Descartes, que é dada por $ x^{3} + y^{3} = 3 a x y $, e uma reta $ y = t x $. Nosso objetivo é descobrir onde essa reta intercepta a curva além da origem, ou seja, encontrar as coordenadas do ponto $ P $ em termos de $ t $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e substituição de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação da reta $ y = t x $ na equação do folio de Descartes. Isso significa que vamos substituir todos os $ y $ por $ t x $ na equação da curva. Assim, temos:
y = t x

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos $ t x $ ao cubo:
t x
Podemos fatorar $ x^{3} $ do lado esquerdo:
x^3 + t^3 x^3 = 3 a t x^2

Passo 4

Para resolver para $ x $, vamos dividir ambos os lados por $ x^{2} $ (lembre-se que $ x \neq 0 $ porque já sabemos que a origem é um ponto de interseção):
x
Agora, isolamos $ x $:
x^2

Passo 5

Com o valor de $ x $ encontrado, podemos encontrar $ y $ usando a equação da reta $ y = t x $:
x

Resposta

As coordenadas do ponto $ P $ são $ \left( \dfrac{3 a t}{1 + t^{3}}, \dfrac{3 a t^{2}}{1 + t^{3}} \right) $.

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