O fólio de Descartes é a curva de equação
, em que
é uma constante.
Mostre que, para
, a reta
intersecta o fólio na origem e em outro ponto
. Expresse as coordenadas de
em termos de
.
Mostre que, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a curva do folio de Descartes, que é dada por $ x^{3} + y^{3} = 3 a x y $, e uma reta $ y = t x $. Nosso objetivo é descobrir onde essa reta intercepta a curva além da origem, ou seja, encontrar as coordenadas do ponto $ P $ em termos de $ t $. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e substituição de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a equação da reta $ y = t x $ na equação do folio de Descartes. Isso significa que vamos substituir todos os $ y $ por $ t x $ na equação da curva. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Primeiro, elevamos $ t x $ ao cubo:
Podemos fatorar $ x^{3} $ do lado esquerdo:
Passo 4
Para resolver para $ x $, vamos dividir ambos os lados por $ x^{2} $ (lembre-se que $ x \neq 0 $ porque já sabemos que a origem é um ponto de interseção):
Agora, isolamos $ x $:
Passo 5
Com o valor de $ x $ encontrado, podemos encontrar $ y $ usando a equação da reta $ y = t x $:
Resposta
As coordenadas do ponto $ P $ são $ \left( \dfrac{3 a t}{1 + t^{3}}, \dfrac{3 a t^{2}}{1 + t^{3}} \right) $.