Para uma fonte se aproximando a
em ângulo
com a linha de visada, calcule o fator Doppler usando a fórmula geral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fator Doppler para uma fonte que se aproxima com velocidade
formando um ângulo
com a linha de visada.
Dados fornecidos:
(velocidade da fonte)
(ângulo entre o vetor velocidade e a linha de visada, com a fonte aproximando-se)
Dados fornecidos:
Passo 2
O que é exatamente o “fator Doppler” que vamos calcular? Vou explicar de forma direta: o fator Doppler
relaciona a frequência observada
com a frequência emitida
pela relação
Quando
temos um deslocamento para o azul (blueshift, frequência aumenta); quando
temos um deslocamento para o vermelho (redshift, frequência diminui). Aqui a fonte está se aproximando, então esperamos
.
Passo 3
A fórmula relativística geral para o fator Doppler (usada em astrofísica e relatividade especial) é
onde explico cada símbolo:
é a velocidade em unidades da velocidade da luz;
é o fator de Lorentz;
é o ângulo entre a direção do movimento da fonte e a linha de visada (aqui
).
Essa fórmula vem da transformação relativística de frequência e leva em conta tanto a dilatação do tempo (via ) quanto a projeção da velocidade na linha de visada (via
). Não precisa decorar o derivar aqui para a prova, mas é importante entender o papel de cada termo:
diminui a frequência observada (efeito da dilatação do tempo), enquanto o fator
ajusta a componente radial da velocidade (aproximação dá
e reduz o denominador, aumentando
).
Essa fórmula vem da transformação relativística de frequência e leva em conta tanto a dilatação do tempo (via
Passo 4
Calculemos os ingredientes numéricos passo a passo.
- Calcular
:
- Calcular
com :
- Calcular
:
Agora avaliamo
. Uma forma simples é lembrar que
, então
Passo 5
Agora montamos o denominador da fórmula:
Substituindo
,
Passo 6
Finalmente calculamos o fator Doppler:
Portanto a frequência observada será cerca de
maior que a frequência emitida.
Passo 7
Uma checagem útil: no limite não relativístico (pequeno
), podemos aproximar
e obter
. Para nossos números isso dá
A diferença entre a aproximação clássica
e o valor relativístico
é pequena porque
é pequeno, mas a conta correta é a relativística que usamos.