Para uma fonte se aproximando a v=0.1 c em ângulo \theta=60^{\circ} com a linha de visada, calcule o fator Doppler usando a fórmula geral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fator Doppler para uma fonte que se aproxima com velocidade v=0,1\,c formando um ângulo \theta=60^\circ com a linha de visada.
Dados fornecidos:
\;v=0,1\,c (velocidade da fonte)
\;\theta=60^\circ (ângulo entre o vetor velocidade e a linha de visada, com a fonte aproximando-se)

Passo 2

O que é exatamente o “fator Doppler” que vamos calcular? Vou explicar de forma direta: o fator Doppler \delta relaciona a frequência observada \nu_{\rm obs} com a frequência emitida \nu_{\rm em} pela relação
\nu_{\rm obs}=\delta\,\nu_{\rm em}.
Quando \delta>1 temos um deslocamento para o azul (blueshift, frequência aumenta); quando \delta<1 temos um deslocamento para o vermelho (redshift, frequência diminui). Aqui a fonte está se aproximando, então esperamos \delta>1.

Passo 3

A fórmula relativística geral para o fator Doppler (usada em astrofísica e relatividade especial) é
\delta=\frac{1}{\gamma\bigl(1-\beta\cos\theta\bigr)},
onde explico cada símbolo:
\beta=\dfrac{v}{c} é a velocidade em unidades da velocidade da luz;
\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} é o fator de Lorentz;
\theta é o ângulo entre a direção do movimento da fonte e a linha de visada (aqui \theta=60^\circ).
Essa fórmula vem da transformação relativística de frequência e leva em conta tanto a dilatação do tempo (via \gamma) quanto a projeção da velocidade na linha de visada (via \cos\theta). Não precisa decorar o derivar aqui para a prova, mas é importante entender o papel de cada termo: \gamma diminui a frequência observada (efeito da dilatação do tempo), enquanto o fator (1-\beta\cos\theta) ajusta a componente radial da velocidade (aproximação dá \cos\theta>0 e reduz o denominador, aumentando \delta).

Passo 4

Calculemos os ingredientes numéricos passo a passo.
  1. Calcular \beta:
\beta=\frac{v}{c}=0{,}1.
  1. Calcular \cos\theta com \theta=60^\circ:
\cos 60^\circ=\frac{1}{2}=0{,}5.
  1. Calcular \gamma:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}1)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}01}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}99}}.
Agora avaliamo \sqrt{0{,}99}. Uma forma simples é lembrar que \sqrt{0{,}99}\approx0{,}994987, então
\gamma\approx\frac{1}{0{,}994987}\approx1{,}0050378.

Passo 5

Agora montamos o denominador da fórmula:
\gamma\bigl(1-\beta\cos\theta\bigr)=\gamma\bigl(1-0{,}1\times0{,}5\bigr)=\gamma\bigl(1-0{,}05\bigr)=\gamma\times0{,}95.
Substituindo \gamma\approx1{,}0050378,
\gamma\times0{,}95\approx1{,}0050378\times0{,}95\approx0{,}9547859.

Passo 6

Finalmente calculamos o fator Doppler:
\delta=\frac{1}{\gamma(1-\beta\cos\theta)}\approx\frac{1}{0{,}9547859}\approx1{,}0474.
Portanto a frequência observada será cerca de 4{,}74\% maior que a frequência emitida.

Passo 7

Uma checagem útil: no limite não relativístico (pequeno \beta), podemos aproximar \gamma\approx1 e obter \delta_{\rm cl}\approx\dfrac{1}{1-\beta\cos\theta}. Para nossos números isso dá
\delta_{\rm cl}\approx\frac{1}{1-0{,}1\times0{,}5}=\frac{1}{0{,}95}\approx1{,}0526.
A diferença entre a aproximação clássica 1{,}0526 e o valor relativístico 1{,}0474 é pequena porque \beta é pequeno, mas a conta correta é a relativística que usamos.

Resposta

\delta\approx1{,}0474

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