Uma fonte esférica irradia som uniformemente em todas as direções. A uma distância de 10 m , a intensidade sonora é
. (a) A que distância da fonte a intensidade é
? (b) Que potência é irradiada por essa fonte? (c) resolva (a) e (b) considerando a irradiação apenas num hemisfério.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Fonte esférica que irradia som uniformemente em todas as direções.
- A uma distância de
a intensidade sonora é . - Perguntas:
- (a) A que distância da fonte a intensidade é
? - (b) Qual é a potência irradiada por essa fonte?
- (a) A que distância da fonte a intensidade é
- Depois, repetir (a) e (b) assumindo que a irradiação ocorre apenas num hemisfério (em vez de em toda a esfera).
Todos os dados relevantes acima foram tirados do enunciado.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Intensidade sonora
é definida como a potência por unidade de área recebida:
onde:
-
é a intensidade ( ), -
é a potência total irradiada pela fonte ( ), -
é a área através da qual a potência se distribui ( ). -
Para uma fonte que irradian uniformemente em todas as direções (irradiação esférica), a energia se distribui sobre a superfície de uma esfera de raio
, cuja área é
Portanto, nesse caso:
- Se a irradiação for apenas num hemisfério (metade da esfera), a área é a metade da área da esfera:
e então
- Observação útil (regra prática): quando
é fixa, varia como . Assim, para duas posições e intensidades com mesma configuração geométrica (esfera inteira ou hemisfério),
ou isolando
,
Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular a potência irradiada assumindo irradiação em toda a esfera (parte (b), caso esférico).
Usamos
. Substituindo os valores dados (
em
):
Agora simplifico passo a passo:
Multiplicando
, então
Se quisermos uma aproximação numérica com
,
ou seja aproximadamente
.
Passo 4
Calcular a distância para a qual a intensidade é
no caso esférico (parte (a), caso esférico).
Usamos a relação entre duas intensidades em função das distâncias para a mesma potência e geometria:
Aqui
em
e queremos
tal que
. Isolando
:
Substituo os números:
Calculo interno:
logo
Portanto, para a fonte esférica, a intensidade cai para
a
.
Passo 5
Agora repetir (b) e (a) considerando irradiação apenas num hemisfério.
Primeiro (b) no caso hemisférico: calcular a potência
usando
. Substituindo
e
:
Novamente
, então
Multiplicando
, obtemos
Aproximando numericamente,
ou seja aproximadamente
.
Passo 6
Calcular a distância para a intensidade
no caso hemisférico.
A relação entre intensidade e distância para geometria fixa (aqui hemisfério) é também proporcional a
. Assim, exatamente como no caso esférico,
Os valores de
são os mesmos, logo o resultado é o mesmo:
Observação: a distância em que a intensidade atinge um certo valor depende da razão
e não do fato de ser esfera ou hemisfério, desde que se tenha a mesma definição de
em
. A potência total é que muda conforme a área usada.
Passo 7
Resumo final dos resultados (vou deixar as respostas finais bem limpas para você conferir rápido).
Resposta
a) (esfera)
b) (esfera)
a) (hemisfério)
b) (hemisfério)
b) (esfera)
a) (hemisfério)
b) (hemisfério)