Uma fonte esférica irradia som uniformemente em todas as direções. A uma distância de 10 m , a intensidade sonora é 10^{-4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. (a) A que distância da fonte a intensidade é 10^{-6} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} ? (b) Que potência é irradiada por essa fonte? (c) resolva (a) e (b) considerando a irradiação apenas num hemisfério.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Fonte esférica que irradia som uniformemente em todas as direções.
  • A uma distância de 10\\ \mathrm{m} a intensidade sonora é \,10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Perguntas:
    1. (a) A que distância da fonte a intensidade é \,10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}?
    2. (b) Qual é a potência irradiada por essa fonte?
  • Depois, repetir (a) e (b) assumindo que a irradiação ocorre apenas num hemisfério (em vez de em toda a esfera).
Todos os dados relevantes acima foram tirados do enunciado.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Intensidade sonora I é definida como a potência por unidade de área recebida:
I=\frac{P}{A},
onde:
  • I é a intensidade ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}),
  • P é a potência total irradiada pela fonte ( \mathrm{W}),
  • A é a área através da qual a potência se distribui ( \mathrm{m}^{2}).
  • Para uma fonte que irradian uniformemente em todas as direções (irradiação esférica), a energia se distribui sobre a superfície de uma esfera de raio r, cuja área é
A_{\text{esfera}}=4\pi r^{2}.
Portanto, nesse caso:
I=\frac{P}{4\pi r^{2}}.
  • Se a irradiação for apenas num hemisfério (metade da esfera), a área é a metade da área da esfera:
A_{\text{hemis}}=2\pi r^{2},
e então
I=\frac{P}{2\pi r^{2}}.
  • Observação útil (regra prática): quando P é fixa, I varia como 1/r^{2}. Assim, para duas posições r_{1},r_{2} e intensidades I_{1},I_{2} com mesma configuração geométrica (esfera inteira ou hemisfério),
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{2},
ou isolando r_{2},
r_{2}=r_{1}\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{2}}}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular a potência irradiada assumindo irradiação em toda a esfera (parte (b), caso esférico).
Usamos P=I\cdot 4\pi r^{2}. Substituindo os valores dados ( I=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} em r=10\\ \mathrm{m}):
P = 10^{-4}\cdot 4\pi\cdot (10)^{2}.
Agora simplifico passo a passo:
(10)^{2}=100,
4\pi\cdot 100 = 400\pi,
P = 10^{-4}\cdot 400\pi = 400\pi\times 10^{-4}.
Multiplicando 400\times 10^{-4} = 0,04, então
P = 0,04\pi\\ \mathrm{W}.
Se quisermos uma aproximação numérica com \pi\approx 3,1416,
P \approx 0,04\times 3,1416 = 0,12566\\ \mathrm{W},
ou seja aproximadamente 0,1257\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular a distância para a qual a intensidade é \,10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} no caso esférico (parte (a), caso esférico).
Usamos a relação entre duas intensidades em função das distâncias para a mesma potência e geometria:
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{2}.
Aqui I_{1}=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} em r_{1}=10\\ \mathrm{m} e queremos r_{2} tal que I_{2}=10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}. Isolando r_{2}:
r_{2}=r_{1}\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{2}}}.
Substituo os números:
r_{2}=10\sqrt{\frac{10^{-4}}{10^{-6}}}.
Calculo interno:
\frac{10^{-4}}{10^{-6}}=10^{2}=100,
\sqrt{100}=10,
logo
r_{2}=10\times 10=100\\ \mathrm{m}.
Portanto, para a fonte esférica, a intensidade cai para 10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} a 100\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora repetir (b) e (a) considerando irradiação apenas num hemisfério.
Primeiro (b) no caso hemisférico: calcular a potência P_{\text{hemis}} usando P=I\cdot A_{\text{hemis}}=I\cdot 2\pi r^{2}. Substituindo I=10^{-4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} e r=10\\ \mathrm{m}:
P_{\text{hemis}} = 10^{-4}\cdot 2\pi\cdot (10)^{2}.
Novamente (10)^{2}=100, então
P_{\text{hemis}} = 10^{-4}\cdot 2\pi\cdot 100 = 10^{-4}\cdot 200\pi = 200\pi\times 10^{-4}.
Multiplicando 200\times 10^{-4}=0,02, obtemos
P_{\text{hemis}} = 0,02\pi\\ \mathrm{W}.
Aproximando numericamente,
P_{\text{hemis}} \approx 0,02\times 3,1416 = 0,062832\\ \mathrm{W},
ou seja aproximadamente 0,06283\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a distância para a intensidade \,10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} no caso hemisférico.
A relação entre intensidade e distância para geometria fixa (aqui hemisfério) é também proporcional a 1/r^{2}. Assim, exatamente como no caso esférico,
r_{2}=r_{1}\sqrt{\frac{I_{1}}{I_{2}}}.
Os valores de I_{1},I_{2},r_{1} são os mesmos, logo o resultado é o mesmo:
r_{2}=10\sqrt{\frac{10^{-4}}{10^{-6}}}=10\times 10=100\\ \mathrm{m}.
Observação: a distância em que a intensidade atinge um certo valor depende da razão I_{1}/I_{2} e não do fato de ser esfera ou hemisfério, desde que se tenha a mesma definição de I_{1} em r_{1}. A potência total é que muda conforme a área usada.

Passo 7

Resumo final dos resultados (vou deixar as respostas finais bem limpas para você conferir rápido).

Resposta

a) (esfera) 100\\ \mathrm{m}
b) (esfera) 0,04\pi\\ \mathrm{W}\approx 0,1257\\ \mathrm{W}
a) (hemisfério) 100\\ \mathrm{m}
b) (hemisfério) 0,02\pi\\ \mathrm{W}\approx 0,06283\\ \mathrm{W}

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