O nível de ruído em uma sala de exames vazia é 40 dB . Quando 100 alunos estão fazendo uma prova, os sons de respiração e escrita sobre papel faz com que o nível de ruído suba para 60 dB . Assumindo que cada aluno contribui com uma quantidade de potência de ruído, encontre o nível de ruído com duas casas decimais quando 40 alunos tiverem saído. R.
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Nível de ruído da sala vazia:
. - Nível de ruído quando
alunos estão na sala: . - Suposição: cada aluno contribui com a mesma potência sonora, que chamaremos de potência individual.
- Pergunta: qual é o nível de ruído (em dB, com duas casas decimais) quando
alunos tiverem saído? (Ou seja, quando restarem alunos.)
Passo 2
Vamos traduzir os níveis em termos de potências e escrever as equações.
A definição de nível sonoro em decibéis é
A definição de nível sonoro em decibéis é
onde:
-
é o nível em decibéis, -
é a potência sonora total no ponto considerado, -
é uma potência de referência (não precisamos conhecer seu valor numérico, porque ele vai se cancelar).
Chamando
a potência de fundo da sala vazia (o ruído de base que dá
) e
a potência sonora de um aluno, temos duas equações dadas:
- Para a sala vazia:
- Para
alunos:
Passo 3
Eliminamos
subtraindo a primeira equação da segunda. Usamos a propriedade dos logaritmos:
Portanto
Dividindo por
e exponenciando em base
:
Dessa igualdade obtemos
, então
Passo 4
Agora calculamos a potência total quando restarem
alunos. A potência total é
Substituindo
obtemos
Passo 5
Convertendo essa potência total em nível sonoro:
Usando a propriedade
,
Mas
(do enunciado), logo
Passo 6
Agora precisamos calcular
. Primeiro escrevemos
porque
. Para
usamos uma aproximação com expansão linear (derivada do logaritmo) em torno de
:
Sabemos
e
. Então
Somando,
Logo
Multiplicando por
:
Portanto
Passo 7
Arredondando para duas casas decimais (como pedido), o nível de ruído com
alunos é