O nível de ruído em uma sala de exames vazia é 40 dB . Quando 100 alunos estão fazendo uma prova, os sons de respiração e escrita sobre papel faz com que o nível de ruído suba para 60 dB . Assumindo que cada aluno contribui com uma quantidade de potência de ruído, encontre o nível de ruído com duas casas decimais quando 40 alunos tiverem saído. R. \mathbf{5 7 , 0 ~ d B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Nível de ruído da sala vazia: \;40\\ \text{dB}.
  • Nível de ruído quando 100 alunos estão na sala: \;60\\ \text{dB}.
  • Suposição: cada aluno contribui com a mesma potência sonora, que chamaremos de potência individual.
  • Pergunta: qual é o nível de ruído (em dB, com duas casas decimais) quando 40 alunos tiverem saído? (Ou seja, quando restarem 100-40=60 alunos.)

Passo 2

Vamos traduzir os níveis em termos de potências e escrever as equações.
A definição de nível sonoro em decibéis é
L = 10\log_{10}\!\left(\frac{P}{P_0}\right),
onde:
  • \;L é o nível em decibéis,
  • \;P é a potência sonora total no ponto considerado,
  • \;P_0 é uma potência de referência (não precisamos conhecer seu valor numérico, porque ele vai se cancelar).
Chamando \;P_b a potência de fundo da sala vazia (o ruído de base que dá 40\\ \text{dB}) e \;p a potência sonora de um aluno, temos duas equações dadas:
  • Para a sala vazia:
40 = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b}{P_0}\right).
  • Para 100 alunos:
60 = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b + 100\,p}{P_0}\right).

Passo 3

Eliminamos P_0 subtraindo a primeira equação da segunda. Usamos a propriedade dos logaritmos:
60-40 = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b + 100\,p}{P_0}\right) - 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b}{P_0}\right) = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b + 100\,p}{P_b}\right).
Portanto
20 = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b + 100\,p}{P_b}\right).
Dividindo por 10 e exponenciando em base 10:
\frac{P_b + 100\,p}{P_b} = 10^{2} = 100.
Dessa igualdade obtemos P_b + 100\,p = 100\,P_b, então
100\,p = 99\,P_b \quad\Rightarrow\quad p = \frac{99}{100}\,P_b = 0,99\,P_b.

Passo 4

Agora calculamos a potência total quando restarem 60 alunos. A potência total é
P_{60} = P_b + 60\,p.
Substituindo p = 0,99\,P_b obtemos
P_{60} = P_b + 60\cdot 0,99\,P_b = P_b\bigl(1 + 59,4\bigr) = 60,4\,P_b.

Passo 5

Convertendo essa potência total em nível sonoro:
L_{60} = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_{60}}{P_0}\right) = 10\log_{10}\!\left(\frac{60,4\,P_b}{P_0}\right).
Usando a propriedade \log(ab)=\log a + \log b,
L_{60} = 10\log_{10}\!\left(\frac{P_b}{P_0}\right) + 10\log_{10}(60,4).
Mas 10\log_{10}\!\left(\dfrac{P_b}{P_0}\right)=40 (do enunciado), logo
L_{60} = 40 + 10\log_{10}(60,4).

Passo 6

Agora precisamos calcular 10\log_{10}(60,4). Primeiro escrevemos
\log_{10}(60,4) = 1 + \log_{10}(6,04),
porque 60,4 = 6,04\times 10. Para \log_{10}(6,04) usamos uma aproximação com expansão linear (derivada do logaritmo) em torno de 6:
\log_{10}(6{,}04) \approx \log_{10}(6) + \frac{0{,}04}{6\,\ln 10}.
Sabemos \log_{10}(6)\approx 0{,}7781513 e \ln 10\approx 2{,}302585. Então
\frac{0{,}04}{6\,\ln 10} \approx \frac{0{,}04}{6\cdot 2{,}302585} \approx 0{,}002895.
Somando,
\log_{10}(6{,}04) \approx 0{,}7781513 + 0{,}002895 \approx 0{,}7810463.
Logo
\log_{10}(60,4) \approx 1 + 0{,}7810463 = 1{,}7810463.
Multiplicando por 10:
10\log_{10}(60,4) \approx 17{,}810463.
Portanto
L_{60} \approx 40 + 17{,}810463 = 57{,}810463\\ \text{dB}.

Passo 7

Arredondando para duas casas decimais (como pedido), o nível de ruído com 60 alunos é
L_{60} \approx 57{,}81\\ \text{dB}.

Resposta

57{,}81\\ \text{dB}

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