A frequência do dó uma oitava acima do dó central é o dobro do dó central. Qual é o comprimento de onda desta nota no ar? Se essa corda tem uma massa de 1 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está sob uma tensão de 100 N , qual a velocidade desta onda na corda?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. O comprimento de onda no ar da nota “dó” que está uma oitava acima do dó central, sabendo que a frequência dessa nota é o dobro da frequência do dó central.
  2. A velocidade da onda numa corda que tem massa linear 1\\ \mathrm{g/m} e está sob tensão 100\\ \mathrm{N}.
Informações relevantes dadas ou que precisamos adotar (pois não foram explicitadas no enunciado):
  • A frequência do dó uma oitava acima do dó central é 2 vezes a do dó central (isso já dito no enunciado).
  • Vou usar o valor padrão aproximado para o dó central (dó médio, C4): \,261,63\\ \mathrm{Hz}\, — esse é o valor convencional em afinação temperada com A_4=440\\ \mathrm{Hz}.
  • Vou usar a velocidade do som no ar a 20^\circ\mathrm{C}: \,343\\ \mathrm{m/s}\,. Se a temperatura mudar, o comprimento de onda muda um pouco.
  • A massa linear dada é 1\\ \mathrm{g/m}, que precisa ser convertida para \mathrm{kg/m} para usar nas fórmulas.

Passo 2

Encontrar numericamente a frequência da nota (dó uma oitava acima do dó central).
Explicação do conceito usado: “Uma oitava acima” significa multiplicar a frequência por 2. Se a frequência do dó central (C4) é \,261,63\\ \mathrm{Hz}\,, então a frequência do dó uma oitava acima (C5) é
f = 2 \times 261,63\\ \mathrm{Hz}.
Calculemos:
f = 2 \times 261,63 = 523,26\\ \mathrm{Hz}.
Portanto a nota tem f=523,26\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda no ar usando a relação fundamental das ondas sonoras.
Teoria básica (muito importante): para uma onda periódica que se propaga, a relação entre velocidade de propagação v, frequência f e comprimento de onda \lambda é
\lambda = \frac{v}{f},
onde
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros),
  • v é a velocidade da onda no meio (em \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}).
Aqui o meio é o ar, então usamos v_{\text{ar}}=343\\ \mathrm{m/s} (valor adotado). Substituindo:
\lambda = \frac{343\\ \mathrm{m/s}}{523,26\\ \mathrm{Hz}}.
Agora a conta:
\lambda \approx 0,656\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso significa que a distância entre dois máximos consecutivos de pressão sonora dessa nota no ar é cerca de 0,656\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Converter a massa linear da corda para unidades SI.
Dado: massa linear \,1\\ \mathrm{g/m}. Em unidades SI (quilograma por metro):
\mu = 1\\ \mathrm{g/m} = 1\times 10^{-3}\\ \mathrm{kg/m} = 0,001\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação: 1\\ \mathrm{g} = 10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Apresentar a fórmula para a velocidade de onda em uma corda tensa e explicar sua origem/variáveis.
Fórmula usada:
v_{\text{corda}} = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde
  • v_{\text{corda}} é a velocidade da onda transversa na corda (em \mathrm{m/s}),
  • T é a tensão na corda (em \mathrm{N}),
  • \mu é a massa linear da corda (em \mathrm{kg/m}).
Breve intuição: quanto maior a tensão, mais “esticada” e rápida fica a corda (aumenta v); quanto mais massa por metro, mais lenta fica (diminui v). A fórmula resulta da aplicação das leis de Newton a um elemento pequeno da corda e da relação entre aceleração e curvatura — aqui basta decorar e saber aplicar a fórmula.

Passo 6

Calcular numericamente a velocidade na corda usando T=100\\ \mathrm{N} e \mu=0,001\\ \mathrm{kg/m}.
Substituindo na fórmula:
v_{\text{corda}} = \sqrt{\frac{100}{0,001}}.
Fazendo a divisão dentro da raiz:
\frac{100}{0,001} = 100000.
Logo
v_{\text{corda}} = \sqrt{100000} \approx 316,23\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a onda transversa se propaga pela corda a cerca de 316,23\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

\lambda \approx 0,656\\ \mathrm{m}
v_{\text{corda}} \approx 316,23\\ \mathrm{m/s}

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