Uma partícula se move com velocidade 0,9 \mathrm{c} na direção positiva do eixo x^{\prime \prime}, conforme medido num referencial S^{\prime \prime}, que por sua vez se move com velocidade 0,9 c na direção positiva do eixo x^{\prime} do referencial S^{\prime}. Por fim, S^{\prime} também se move com velocidade 0,9 c na direção positiva do eixo dos x do referencial S. Qual a velocidade da partícula conforme medida por S ’ e S ?

Passo 1

O enunciado descreve três referenciais em cadeia: S, S' e S''. A partícula move-se em S'' com velocidade 0,9\,c. O referencial S'' desloca-se em relação a S' com velocidade 0,9\,c, e S' desloca-se em relação a S com velocidade 0,9\,c.
O conteúdo é a adição relativística de velocidades de Einstein, que diz que, ao compor uma velocidade u_{\text{orig}} com a velocidade do referencial v, a velocidade resultante é
u = \frac{u_{\text{orig}} + v}{1 + \dfrac{u_{\text{orig}}\,v}{c^2}}\,.

Passo 2

Primeiro, encontramos a velocidade da partícula em S'. Aqui u_{\text{orig}}=u''=0,9\,c e v=0,9\,c. Aplicando a fórmula,
u' = \frac{0,9\,c + 0,9\,c}{1 + \dfrac{0,9\,c \times 0,9\,c}{c^2}} = \frac{1,8\,c}{1 + 0,81} = \frac{1,8\,c}{1,81} \approx 0,9945\,c\,.

Passo 3

Em seguida, achamos a velocidade da partícula em S. Agora u_{\text{orig}}=u'=0,9945\,c e v=0,9\,c. De novo,
u = \frac{0,9945\,c + 0,9\,c}{1 + \dfrac{0,9945\,c \times 0,9\,c}{c^2}} = \frac{1,8945\,c}{1 + 0,89505} = \frac{1,8945\,c}{1,89505} \approx 0,9997\,c\,.

Resposta

A velocidade da partícula medida por S' é aproximadamente 0,9945\,c e a medida por S é aproximadamente 0,9997\,c.

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