Uma fonte mineral contém um número médio de quatro bactérias por cm^3 de água. Dez tubos de ensaio, de 1 cm^3, são enchidos com este líquido. Supondo que a distribuição de Poisson é aplicável, encontre a probabilidade:
a) de que todos os 10 tubos de ensaio apresentem bactérias, isto é, contenham ao menos uma bactéria cada;
b) de que exatamente oito tubos de ensaio apresentem bactérias. Resp.: a) (0,9816); b) 0,013 .

Passo 1

O enunciado diz que o número de bactérias em cada tubo de 1 cm^3 segue uma distribuição de Poisson com média lambda=4. São usados 10 tubos, independentes entre si. Chamamos de Xi o número de bactérias no tubo i, de modo que
Xisim Poisson(4), i=1,dots,10
Queremos (a) a probabilidade de que cada um dos 10 tubos contenha ao menos uma bactéria e (b) a probabilidade de que exatamente 8 tubos contenham bactérias.

Passo 2

Definimos o evento
Ai = o tubo i contém ao menos uma bactéria = Xi>=1 éé
Pela independência, o número de tubos com bactérias é binomial Binomial(n=10,p), onde
p = P(Ai) = P(Xi>=1)

Passo 3

Calculamos p usando a fórmula da Poisson para zero ocorrências:
P(Xi=0) = e^-44^00! = e^-4,
logo
p = P(Xi>=1) = 1 - P(Xi=0) = 1 - e^-4

Passo 4

(a) Como os Ai são independentes, a probabilidade de que todos os 10 tubos apresentem bactérias é
Pl(A1cap A2capcdotscap A10r) = p^10

Passo 5

(b) A probabilidade de que exatamente 8 tubos apresentem bactérias é dada pela fórmula da binomial:
Pl(8 tubos com bactériar) = binom108,p^8,(1-p)^2 é

Passo 6

Avaliação numérica:
p = 1 - e^-4 approx 1 - 0,018315 = 0,981685,
p^10 approx (0,981685)^10 approx 0,8337,
binom108 = 45, (1-p)=e^-4approx0,018315,
P(8) approx 45,(0,981685)^8,(0,018315)^2 approx 0,0130

Resposta

a) (1 - e^-4)^10approx 0,8337
b) binom108(1 - e^-4)^8(e^-4)^2approx 0,0130

Exercícios relacionados