Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=sen(2 t).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função sin(2t). O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace, que é
Lf(t)(s) = integral0^infty e^-stf(t),dt,
e vamos usá-la diretamente para f(t)=sin(2t). Também precisaremos impor a condição de convergência da integral, que será Re(s)>0.

Passo 2

Escrevendo a definição para f(t)=sin(2t), temos
I(s);=;Lsin(2t)(s) ;=;integral0^infty e^-st,sin(2t),dt,
com a condição de existência da integral Re(s)>0.

Passo 3

Para calcular
I(s)=integral0^infty e^-stsin(2t),dt
usamos integração por partes. Defina
u=sin(2t), dv=e^-stdt Longrightarrow du=2cos(2t),dt, v=-1se^-st
Então
integral e^-stsin(2t),dt =-1se^-stsin(2t) +2sintegral e^-stcos(2t),dt
Chame
J(s)=integral e^-stcos(2t),dt
Para J(s) fazemos outra partes com
u=cos(2t),;dv=e^-stdt Longrightarrow du=-2sin(2t),dt,;v=-1se^-st,
obtendo
J(s) =-1se^-stcos(2t) +2sintegral e^-stsin(2t),dt =-1se^-stcos(2t)+2sI(s)

Passo 4

Substituindo J(s) na expressão de I(s), antes de aplicar limites, temos
integral e^-stsin(2t),dt =-1se^-stsin(2t) +2sl(-1se^-stcos(2t)+2sI(s)r) =-e^-stsin(2t)s-2e^-stcos(2t)s^2+4s^2I(s)
Avaliando de 0 a infty e lembrando que, para Re(s)>0, e^-stto0 quando ttoinfty, obtemos
I(s) =l[0r]-l(-0s-2s^2+4s^2I(s)r) =2s^2-4s^2I(s)
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I(s)l(1+4s^2r)=2s^2 Longrightarrow I(s)=2s^2+4

Resposta

Lsin(2t)(s)=2s^2+4, Re(s)>0

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