Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada da função k(x)=2 f(x)+7 x^5x^3-3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ k(x) = \frac{2 f(x) + 7x{5}}{x{3} - 3} $. Isso envolve o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando você tem uma divisão de duas funções e quer derivar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dessa função é dada por:
u(x)v(x)
Então, para aplicar essa regra, precisamos identificar as partes $ u(x) $ e $ v(x) $ da nossa função $ k(x) $.

Passo 3

No nosso caso, temos:
u(x) = 2 f(x) + 7x^5
v(x) = x^3 - 3
Agora, vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $ separadamente.

Passo 4

Vamos começar derivando $ u(x) $:
u(x)
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
u(x) = 2 f(x) + 7x^5
Aqui, usamos que a derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) $ e a derivada de $ 7x^{5} $ é $ 35x^{4} $.

Passo 5

Agora, vamos derivar $ v(x) $:
v(x)
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante, como $ -3 $, é zero. Então:
v(x) = x^3 - 3

Passo 6

Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
u'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
v'(x)

Resposta

A derivada da função $ k(x) $ é:
k(x)

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