Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função $ k(x) = \frac{2 f(x) + 7x{5}}{x{3} - 3} $. Isso envolve o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra do Quociente, que é usada quando você tem uma divisão de duas funções e quer derivar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, $ \frac{u(x)}{v(x)} $, a derivada dessa função é dada por:
Então, para aplicar essa regra, precisamos identificar as partes $ u(x) $ e $ v(x) $ da nossa função $ k(x) $.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Agora, vamos derivar $ u(x) $ e $ v(x) $ separadamente.
Passo 4
Vamos começar derivando $ u(x) $:
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então:
Aqui, usamos que a derivada de $ f(x) $ é $ f’(x) $ e a derivada de $ 7x^{5} $ é $ 35x^{4} $.
Passo 5
Agora, vamos derivar $ v(x) $:
A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $ e a derivada de uma constante, como $ -3 $, é zero. Então:
Passo 6
Com $ u’(x) $ e $ v’(x) $ encontrados, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função $ k(x) $ é: