integral x+1x^2 d x (2,0 pontos)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que temos aqui. O exercício pede para calcular a integral de x+1x^2 em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções racionais. Para resolver, vamos precisar separar a fração e integrar cada parte individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
x+1x^2 = xx^2 + 1x^2
Então, a integral fica:
integral x+1x^2 , dx = integral ( xx^2 + 1x^2 ) , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  • xx^2 = 1x
  • 1x^2 = x^-2
Portanto, a integral fica:
integral ( 1x + x^-2 ) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 1x:
    Sabemos que:
    integral 1x , dx = ln|x|
  2. Integral de x^-2:
    Usando a regra da potência:
    integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
    Aplicando para n = -2:
    integral x^-2 , dx = x^-1-1 = -1x

Passo 5

Juntando as integrais dos dois termos, temos:
ln|x| - 1x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de x+1x^2 , dx é ln|x| - 1x + C.

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