Se G for a porção da esfera unitária que está no primeiro octante, então
integralegral triplaG f(x, y, z) d V=integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-x^2-y^2 f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede. A região G é a parte da esfera unitária
x^2 + y^2 + z^2 <= 1
que está no primeiro octante, ou seja, com x>=0, y>=0, z>=0. Queremos escrever
integral triplaG f(x,y,z),dV
como uma integral iterada em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Projetamos G no plano xy. A projeção é o conjunto
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1,
que é o quarto de disco de raio 1 no primeiro quadrante.

Passo 3

Para cada ponto (x,y) em D, a coordenada z varia de baixo para cima dentro da esfera:
0 <= z <= raiz,1 - x^2 - y^2,

Passo 4

Podemos descrever D por
0 <= x <= 1, 0 <= y <= raiz1 - x^2
Então a integral tripla fica
integral triplaG f(x,y,z),dV = integralx=0^1 integraly=0^raiz1-x^2 integralz=0^raiz1-x^2-y^2 f(x,y,z),dz,dy,dx

Resposta

integral triplaG f(x,y,z),dV = integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 f(x,y,z),dz,dy,dx

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