Seja G a caixa retangular definida pelas desigualdades a <= x <= b, c <= y <= d, k <= z <= l. Mostre que
integralegral triplaG f(x) g(y) h(z) d V
=[integrala^b f(x) d x][integralc^d g(y) d y][integralk^l h(z) d z]

Passo 1

O enunciado define a região
G = (x,y,z)mid a<= x<= b,;c<= y<= d,;k<= z<= l
e pede para provar que, quando o integrando é separável como f(x)g(y)h(z), a integral tripla se fatoriza em três integrais simples. O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para integrais iteradas em caixas retangulares e a propriedade de que, ao integrar em uma variável, os fatores que não dependem dessa variável podem ser retirados da integral.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral triplaG f(x)g(y)h(z),dV =integralx=a^b!integraly=c^d!integralz=k^lf(x)g(y)h(z),dz,dy,dx

Passo 3

Na integral interna em z, os fatores f(x) e g(y) são constantes em relação a z. Portanto,
integralz=k^lf(x)g(y)h(z),dz =f(x),g(y)integralz=k^lh(z),dz

Passo 4

Substituindo na expressão iterada, fica
integralx=a^b!integraly=c^df(x)g(y)gl(integralk^lh(z),dzgr),dy,dx
Como integralk^lh(z),dz não depende de y, ela pode sair da integral em y:
integralx=a^bgl(integralk^lh(z),dzgr)!integraly=c^df(x)g(y),dy,dx

Passo 5

Agora, na integral em y, o fator f(x) é constante em relação a y, então
integraly=c^df(x)g(y),dy =f(x)integraly=c^dg(y),dy
Substituindo, obtemos
integralx=a^bf(x),gl(integralc^dg(y),dygr),gl(integralk^lh(z),dzgr),dx

Passo 6

Finalmente, integralc^dg(y),dy e integralk^lh(z),dz são constantes em relação a x, então podem sair da integral em x, ficando
gl(integralc^dg(y),dygr)gl(integralk^lh(z),dzgr)integralx=a^bf(x),dx =gl(integrala^bf(x),dxgr)gl(integralc^dg(y),dygr)gl(integralk^lh(z),dzgr)

Resposta

integral triplaGf(x)g(y)h(z),dV =gl(integrala^bf(x),dxgr)gl(integralc^dg(y),dygr)gl(integralk^lh(z),dzgr)

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