Seja
a caixa retangular definida pelas desigualdades
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define a região
e pede para provar que, quando o integrando é separável como
, a integral tripla se fatoriza em três integrais simples. O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para integrais iteradas em caixas retangulares e a propriedade de que, ao integrar em uma variável, os fatores que não dependem dessa variável podem ser retirados da integral.
Passo 2
Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
Passo 3
Na integral interna em
, os fatores
e
são constantes em relação a
. Portanto,
Passo 4
Substituindo na expressão iterada, fica
Como
não depende de
, ela pode sair da integral em
:
Passo 5
Agora, na integral em
, o fator
é constante em relação a
, então
Substituindo, obtemos
Passo 6
Finalmente,
e
são constantes em relação a
, então podem sair da integral em
, ficando