Se
for um sólido simples
e se
for contínua em
, então a integral tripla de
em
poderá ser expressa como uma integral iterada cuja integral mais externa é efetuada em relação a
.
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é um sólido simples segundo as variáveis
(isto é, o “simples em
”) e
é contínua em
, então a integral tripla
poderia ser escrita como uma integral iterada cuja integral mais externa fosse em relação a
. Vamos lembrar o que significa “sólido simples em
” e ver como montamos a integral iterada.
Passo 2
Por definição,
ser simples em
significa que existem uma região plana
no plano
e duas funções contínuas
e
tais que
Ou seja, para cada ponto
, a coordenada
varia entre
e
.
Passo 3
Sabendo disso, a integral tripla sobre
se escreve como
onde
é o elemento de área no plano
.
Passo 4
Repare que, nessa expressão, a integral mais interna é
e a integral mais externa é
isto é, em
, que equivale a
(ou
). Em nenhuma parte a integral mais externa é feita em
; na verdade, a integral em
é sempre a mais interna.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que a integral mais externa poderia ser em
quando
é simples em
está incorreta. Para ter a integral externa em
, o sólido teria de ser simples em
ou em
.
Resposta
A afirmação é falsa. A integral mais externa, no caso de sólido simples em
, é em
e
, e não em
.