Se G for um sólido simples xy e se f(x, y, z) for contínua em G, então a integral tripla de f em G poderá ser expressa como uma integral iterada cuja integral mais externa é efetuada em relação a z.

Passo 1

O enunciado afirma que, se G é um sólido simples segundo as variáveis x,y (isto é, o “simples em xy”) e f é contínua em G, então a integral tripla
integral triplaGf(x,y,z),dV
poderia ser escrita como uma integral iterada cuja integral mais externa fosse em relação a z. Vamos lembrar o que significa “sólido simples em xy” e ver como montamos a integral iterada.

Passo 2

Por definição, G ser simples em xy significa que existem uma região plana DsubsetR^2 no plano xy e duas funções contínuas alpha(x,y) e beta(x,y) tais que
G=l(x,y,z)mid (x,y)in D,;alpha(x,y)<= z<= beta(x,y)r
Ou seja, para cada ponto (x,y)in D, a coordenada z varia entre alpha(x,y) e beta(x,y).

Passo 3

Sabendo disso, a integral tripla sobre G se escreve como
integral triplaGf(x,y,z),dV =integral duplaDl(integralalpha(x,y)^beta(x,y)f(x,y,z),dzr),dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy.

Passo 4

Repare que, nessa expressão, a integral mais interna é
integralalpha(x,y)^beta(x,y)f(x,y,z),dz
e a integral mais externa é
integral duplaD(cdots),dA,
isto é, em dA, que equivale a dx,dy (ou dy,dx). Em nenhuma parte a integral mais externa é feita em dz; na verdade, a integral em z é sempre a mais interna.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que a integral mais externa poderia ser em z quando G é simples em xy está incorreta. Para ter a integral externa em z, o sólido teria de ser simples em yz ou em xz.

Resposta

A afirmação é falsa. A integral mais externa, no caso de sólido simples em xy, é em x e y, e não em z.

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