Se
for racional e
irracional, prove que
pode ser racional ou * 10 pontos irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se
é um número racional e
é irracional, então
pode ser tanto racional quanto irracional. Vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam em potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Já um número irracional não pode ser escrito dessa forma, como
ou
.
Passo 3
Para provar que
pode ser racional ou irracional, vamos construir dois exemplos: um onde o resultado é racional e outro onde é irracional.
Passo 4
Exemplo 1:
é racional
Vamos escolher
(que é racional) e
. Sabemos que
é irracional porque
não é uma potência exata de
.
Então, temos:
Aqui,
é um número racional, então nesse caso
é racional.
Passo 5
Exemplo 2:
é irracional
Agora, vamos escolher
e
. Sabemos que
é irracional.
Então:
Não há uma forma simples de escrever
como uma fração, então esse número é irracional.
Resposta
Assim, mostramos que
pode ser tanto racional quanto irracional dependendo dos valores escolhidos para
e
.