Se a for racional e b irracional, prove que a^wed>= b pode ser racional ou * 10 pontos irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, se a é um número racional e b é irracional, então a^b pode ser tanto racional quanto irracional. Vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais e como eles se comportam em potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração pq , onde p e q são inteiros e q neq 0 . Já um número irracional não pode ser escrito dessa forma, como raiz2 ou pi .

Passo 3

Para provar que a^b pode ser racional ou irracional, vamos construir dois exemplos: um onde o resultado é racional e outro onde é irracional.

Passo 4

Exemplo 1: a^b é racional
Vamos escolher a = 2 (que é racional) e b = log2 9 . Sabemos que log2 9 é irracional porque 9 não é uma potência exata de 2 .
Então, temos:
2^log2 9 = 9
Aqui, 9 é um número racional, então nesse caso a^b é racional.

Passo 5

Exemplo 2: a^b é irracional
Agora, vamos escolher a = 2 e b = raiz2 . Sabemos que raiz2 é irracional.
Então:
2^raiz2
Não há uma forma simples de escrever 2^raiz2 como uma fração, então esse número é irracional.

Resposta

Assim, mostramos que a^b pode ser tanto racional quanto irracional dependendo dos valores escolhidos para a e b .

Exercícios relacionados