Se x, y in R e x^2+y^2=25, prove que a soma máxima de x+y ocorre
  • 10 pontos quando x=y. Qual é esse valor máximo?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema onde x e y são números reais que satisfazem a equação x^2 + y^2 = 25 . O objetivo aqui é mostrar que a soma máxima de x + y acontece quando x = y e descobrir qual é esse valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x^2 + y^2 = 25 . Essa equação representa um círculo com raio 5 no plano cartesiano. Isso porque x^2 + y^2 = r^2 é a equação geral de um círculo com centro na origem e raio r .

Passo 3

Queremos maximizar a soma x + y . Para fazer isso, podemos usar um método conhecido como otimização com restrições. Basicamente, vamos achar os valores de x e y que tornam x + y o maior possível dentro da condição dada pelo círculo.

Passo 4

Vamos supor que x = y . Isso simplifica nossa equação original para x^2 + x^2 = 25 , ou seja, 2x^2 = 25 . Resolvendo isso, temos x^2 = 252 , então x = raiz252 ou x = -raiz252 . Como queremos a soma máxima, vamos considerar o valor positivo.

Passo 5

Com x = y = raiz252 , a soma x + y fica:
x + y = raiz252 + raiz252 = 2 times raiz252 = 2 times 5raiz2 = 10raiz2 = 5raiz2
Aqui, racionalizamos o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz2 .

Resposta

O valor máximo da soma x + y é 5raiz2 .

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