Se
for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área
de
é dada pela formula
Use a fórmula
para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
e
.
Passo 1
A gente quer achar a área de uma região R usando o Teorema de Green. O Teorema de Green diz que, para funções P(x,y) e Q(x,y), vale:
Passo 2
Para obtermos exatamente
, escolhemos funções P e Q tais que
Se tomarmos
então
logo a diferença é 1. Assim temos
Passo 3
Para a região limitada pelas curvas
e
vamos primeiro encontrar os pontos de interseção. Substituindo
em
dá
Então os pontos são
e
. A fronteira
tem duas partes: a reta
de
a
e a parábola
de volta a
. Orientamos no sentido anti-horário (região sempre à esquerda). Uma parametrização é:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora calculamos
Passo 5
Em seguida para
:
Passo 6
Somando as duas contribuições,
e, aplicando o fator