Se R for uma região plana qualquer á qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a área A de R é dada pela formula
A=12 ointpartial R-y dx+x dy
Use a fórmula (*) para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
y=3 x e y^2=9 x.

Passo 1

A gente quer achar a área de uma região R usando o Teorema de Green. O Teorema de Green diz que, para funções P(x,y) e Q(x,y), vale:

Passo 2

ointpartial RP,dx+Q,dy=integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA
Para obtermos exatamente integral duplaRdA, escolhemos funções P e Q tais que
partial Qpartial x-partial Ppartial y=1
Se tomarmos
P=-y2, Q=x2,
então
A=integral duplaRdA=ointpartial Rl(-tfracy2dx+tfracx2dyr)=tfrac12ointpartial R(-y,dx+x,dy) e
,
logo a diferença é 1. Assim temos

Passo 3

Para a região limitada pelas curvas
y=3x
e
y^2=9x,
vamos primeiro encontrar os pontos de interseção. Substituindo (3x)^2=9ximplies9x^2=9ximplies x=0,1 em (0,0)
(1,3)
Então os pontos são partial R e C1. A fronteira (0,0) tem duas partes: a reta (1,3) de C2 a (0,0) e a parábola C1 de volta a x=t, y=3t, tin[0,1], dx=dt, dy=3dt . Orientamos no sentido anti-horário (região sempre à esquerda). Uma parametrização é:
Para C2:
y=s, x=s^29, sin[3,0], dy=ds, dx=2s9ds
Para :

Passo 4

Agora calculamos
integralC1(-y,dx+x,dy)=integral0^1l[-(3t)cdot1+(t)cdot3r]dt=integral0^1( -3t+3t)dt=0

Passo 5

Em seguida para C2:
integralC2(-y,dx+x,dy)=integral3^0l[-scdot2s9+s^29cdot1r]ds =integral3^0l(-2s^29+s^29r)ds =-19integral3^0s^2ds =1

Passo 6

Somando as duas contribuições,
1/2
e, aplicando o fator A=12cdot1=12 da fórmula,

Resposta

tfrac12

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