Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
f(z)=1(z-i)^2 para 0<|z-i|;

Passo 1

O enunciado nos pede a expansão em série de Laurent de f(z)= 1(z-i)^2 centrada em z₀=i, válida na região 0<|z−i|<∞. O conteúdo aqui é reconhecer que temos uma singularidade de ordem 2 e que a própria função já está escrita na forma de Laurent.

Passo 2

Para simplificar, definimos a nova variável w=z-i. Assim, a função fica f(z)= 1w^2. Essa mudança deixa claro que o desenvolvimento será em potências de w.

Passo 3

Lembrando que uma série de Laurent em torno de w=0 se escreve como sumn=-infty^+inftyanw^n. No nosso caso, só existe o termo de ordem n=−2, pois f(z)= w^-2. Isso significa que o coeficiente a-2=1 e todos os outros an=0 para nneq-2.

Passo 4

Portanto, a expansão em série de Laurent de 1(z-i)^2 em torno de z=i, válida para 0<|z−i|<∞, é simplesmente o único termo principal de ordem −2.

Resposta

1(z-i)^2=(z-i)^-2

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