Questão 10. Obtenha a expansão em série de Laurent de cada uma das funções abaixo na região indicada:
para
;
Passo 1
O enunciado nos pede a expansão em série de Laurent de f(z)=
centrada em z₀=i, válida na região 0<|z−i|<∞. O conteúdo aqui é reconhecer que temos uma singularidade de ordem 2 e que a própria função já está escrita na forma de Laurent.
Passo 2
Para simplificar, definimos a nova variável
. Assim, a função fica f(z)=
. Essa mudança deixa claro que o desenvolvimento será em potências de w.
Passo 3
Lembrando que uma série de Laurent em torno de w=0 se escreve como
. No nosso caso, só existe o termo de ordem n=−2, pois f(z)=
. Isso significa que o coeficiente
e todos os outros
para
.
Passo 4
Portanto, a expansão em série de Laurent de
em torno de z=i, válida para 0<|z−i|<∞, é simplesmente o único termo principal de ordem −2.