Se G for o sólido retangular definido por 1 <= x <= 3,2 <= y <= 5,
-1 <= z <= 1 e se f(x, y, z) for contínua em G, então
integralegral triplaG f(x, y, z) d V=integral1^3 integral-1^1 integral2^5 f(x, y, z) d y d z d x

Passo 1

O enunciado diz que G é o paralelepípedo
1 <= x <= 3, 2 <= y <= 5, -1 <= z <= 1
e que f(x,y,z) é contínua em G. Queremos mostrar que a integral tripla de f sobre G pode ser feita de forma iterada na ordem dy,dz,dx, isto é,
integral triplaGf(x,y,z),dV =integral1^3!integral-1^1!integral2^5f(x,y,z),dy,dz,dx

Passo 2

Como f é contínua em um domínio retangular G, ela é integrável e podemos aplicar o Teorema de Fubini, que garante que
integral triplaGf(x,y,z),dV =integralx=1^3integral(y,z)in[2,5]times[-1,1]f(x,y,z),dAyz,dx,
onde dAyz=dy,dz.

Passo 3

Para cada x fixo em [1,3], o domínio em (y,z) é o retângulo
2<= y<=5, -1<= z<=1
Logo, a integral dupla em (y,z) pode ser escrita como iterada na ordem dy,dz:
integral(y,z)in[2,5]times[-1,1]f(x,y,z),dy,dz =integralz=-1^1!integraly=2^5f(x,y,z),dy,dz

Passo 4

Substituindo essa integral dupla na expressão de Fubini, obtemos
integral triplaGf(x,y,z),dV =integralx=1^3gl(integralz=-1^1!integraly=2^5f(x,y,z),dy,dzgr)dx =integral1^3!integral-1^1!integral2^5f(x,y,z),dy,dz,dx,
que é exatamente a forma iterada desejada.

Resposta

integral triplaGf(x,y,z),dV =integral1^3integral-1^1integral2^5f(x,y,z),dy,dz,dx

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