Se for verdadeiro coloque e demonstre, caso for falso assinale, e exiba um contraexemplo.
() Sejam que e autovalores distintos e diferentes de zero de , ou seja, os autovetores e correspondentes são l.i., então e são l.i.
( ) Seja definido por , então -1 é autovalor de .
( ) Dados os vetores e , com , são l.d. em .
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre transformações lineares e vetores em , pedindo para cada uma delas: se for verdadeira, marque e demonstre; se for falsa, marque e dê um contraexemplo ou mostre por que não vale.
Passo 2
Primeira afirmação: “Sejam e autovalores distintos e não nulos de , com autovetores linearmente independentes. Então e são l.i.”
Como e , suponha
Pela l.i. de segue e . Como , temos . Logo e são l.i.
Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Segunda afirmação: “Para
Isso dá o sistema
cuja única solução é .
Logo não é autovalor de e a afirmação é falsa.
Passo 4
Terceira afirmação: “Com u=(1-a,1+a) e v=(1+a,1-a), aneq0, os vetores são linearmente dependentes.”
Examinamos a matriz cujas colunas são u e v:
M= 1-a & 1+a 1+a & 1-a
Seu determinante é
det M=(1-a)(1-a)-(1+a)(1+a) =(1-a)^2-(1+a)^2=-4aneq0(pois aneq0)
Determinante não nulo implica u e v são linearmente independentes.
Portanto a afirmação é falsa.