Se for verdadeiro coloque V e demonstre, caso for falso assinale, F e exiba um contraexemplo.
() Sejam que lambda1 e lambda2 autovalores distintos e diferentes de zero de T: R^2 R^2, ou seja, os autovetores v1 e v2 correspondentes são l.i., então T(v1) e T(v2) são l.i.
( ) Seja T: R^2 R^2 definido por T(x, y)=(y,-x), então -1 é autovalor de T.
( ) Dados os vetores u=(1-a, 1+a) e v=(1+a, 1-a), com a neq 0, são l.d. em R^2.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre transformações lineares e vetores em R^2, pedindo para cada uma delas: se for verdadeira, marque V e demonstre; se for falsa, marque F e dê um contraexemplo ou mostre por que não vale.

Passo 2

Primeira afirmação: “Sejam lambda1 e lambda2 autovalores distintos e não nulos de TcolonR^2toR^2, com autovetores v1,v2 linearmente independentes. Então T(v1) e T(v2) são l.i.”
Como T(vi)=lambdai vi e lambdaineq0, suponha
alpha,T(v1)+beta,T(v2)=0 ;Longrightarrow; alphalambda1v1+betalambda2v2=0
Pela l.i. de v1,v2 segue alphalambda1=0 e betalambda2=0. Como lambda1,lambda2neq0, temos alpha=beta=0. Logo T(v1) e T(v2) são l.i.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Segunda afirmação: “Para
Isso dá o sistema
cuja única solução é .
Logo não é autovalor de e a afirmação é falsa.

Passo 4

Terceira afirmação: “Com u=(1-a,1+a) e v=(1+a,1-a), aneq0, os vetores são linearmente dependentes.”
Examinamos a matriz cujas colunas são u e v:
M= 1-a & 1+a 1+a & 1-a
Seu determinante é
det M=(1-a)(1-a)-(1+a)(1+a) =(1-a)^2-(1+a)^2=-4aneq0(pois aneq0)
Determinante não nulo implica u e v são linearmente independentes.
Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

(V, F, F)

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