O vetor 5+3 x+2 x^2 in P2(R) é combinação linear dos vetores 1+x+x^2 e 3+x?

Passo 1

Vamos resolver o problema que pergunta se o polinômio 5 + 3x + 2x^2 no espaço P2(R) pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios 1 + x + x^2 e 3 + x. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear. Dizemos que um vetor (ou polinômio, nesse caso) é uma combinação linear de outros vetores se ele pode ser escrito como uma soma desses vetores multiplicados por certos coeficientes. Aqui, queremos encontrar coeficientes a e b tais que:
5 + 3x + 2x^2 = a(1 + x + x^2) + b(3 + x)

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
a(1 + x + x^2) + b(3 + x) = a + a x + a x^2 + 3b + b x

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + 3b) + (a + b)x + a x^2

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + 3b = 5 a + b = 3 a = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, já sabemos que a = 2.
  2. Substituindo a = 2 na segunda equação:
2 + b = 3 implies b = 1
  1. Verificando na primeira equação:
2 + 3(1) = 5 implies 2 + 3 = 5 (válido) á

Resposta

Sim, o polinômio 5 + 3x + 2x^2 é uma combinação linear dos polinômios 1 + x + x^2 e 3 + x, com a = 2 e b = 1.

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