Vamos resolver o problema que pergunta se o polinômio no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser uma combinação linear. Dizemos que um vetor (ou polinômio, nesse caso) é uma combinação linear de outros vetores se ele pode ser escrito como uma soma desses vetores multiplicados por certos coeficientes. Aqui, queremos encontrar coeficientes e tais que:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, já sabemos que a = 2.
Substituindo a = 2 na segunda equação:
2 + b = 3 implies b = 1
Verificando na primeira equação:
2 + 3(1) = 5 implies 2 + 3 = 5 (válido) á
Resposta
Sim, o polinômio 5 + 3x + 2x^2 é uma combinação linear dos polinômios 1 + x + x^2 e 3 + x, com a = 2 e b = 1.