Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
S=1+2 x, x+x^3, x^2+x^3 subset P3(R).

Passo 1

Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o conjunto S = 1 + 2x,, x + x^3,, x^2 + x^3 que está dentro de P3(R) , ou seja, o espaço das polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa ser L.I. ou L.D. e aplicar esses conceitos para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente.
Matematicamente, para os vetores v1, v2, v3 , queremos ver se a equação
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0
tem apenas a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0 . Se existir alguma outra solução, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto S . Temos:
v1 = 1 + 2x
v2 = x + x^3
v3 = x^2 + x^3
Queremos encontrar constantes c1, c2, c3 tais que:
c1 (1 + 2x) + c2 (x + x^3) + c3 (x^2 + x^3) = 0
Vamos expandir essa expressão:
c1 + 2c1 x + c2 x + c2 x^3 + c3 x^2 + c3 x^3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
c1 + (2c1 + c2) x + c3 x^2 + (c2 + c3) x^3 = 0

Passo 4

Para que essa equação seja igual a zero para todo x , os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Constante: c1 = 0
  2. Coeficiente de x : 2c1 + c2 = 0
  3. Coeficiente de x^2 : c3 = 0
  4. Coeficiente de x^3 : c2 + c3 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Da primeira equação, já sabemos que c1 = 0 .
  2. Substituindo c1 = 0 na segunda equação: 2(0) + c2 = 0 implica c2 = 0 .
  3. Da terceira equação, temos c3 = 0 .
  4. Verificando a quarta equação: c2 + c3 = 0 + 0 = 0 , que já está satisfeito.

Resposta

Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0 , o conjunto S = 1 + 2x,, x + x^3,, x^2 + x^3 é Linearmente Independente.

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