Verifique se os seguintes conjuntos são L.I. ou L.D.
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem o conjunto
que está dentro de
, ou seja, o espaço das polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo aqui é verificar se esse conjunto é Linearmente Independente (L.I.) ou Linearmente Dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender o que significa ser L.I. ou L.D. e aplicar esses conceitos para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente ou dependente. Um conjunto de vetores (ou funções, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente.
Matematicamente, para os vetores
, queremos ver se a equação
tem apenas a solução trivial
. Se existir alguma outra solução, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Temos:
Queremos encontrar constantes
tais que:
Vamos expandir essa expressão:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa equação seja igual a zero para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
- Da primeira equação, já sabemos que
. - Substituindo
na segunda equação: implica . - Da terceira equação, temos
. - Verificando a quarta equação:
, que já está satisfeito.
Resposta
Como a única solução para o sistema é
, o conjunto
é Linearmente Independente.