Seja
definida por
Passo 1
O que o enunciado nos dá:
- A transformação linear
definida por
As perguntas que vou responder (tudo o que costuma vir neste tipo de exercício):
- Mostrar que
é linear (verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade). - Encontrar a matriz de
relativa às bases canônicas de e . - Determinar o núcleo
(dar uma base e a dimensão — nullidade). - Determinar a imagem
(dar uma base e a dimensão — posto). - Aplicar o teorema posto-nulidade e verificar se
é injetora ou sobrejetora. - Se for útil, descrever a pré-imagem geral de um vetor arbitrário
.
Passo 2
Verificando linearidade passo a passo (a ideia: mostrar que
e
).
Sejam
e
em
. Então
Aplicando
a
temos (usando a definição de
):
Reagrupando:
Mas isso é exatamente
Portanto
.
Agora para homogeneidade, seja
e
. Então
e aplicando
:
Logo
satisfaz as duas propriedades e portanto é linear.
Passo 3
Encontrando a matriz de
nas bases canônicas.
Regra prática: a matriz de
é obtida calculando
sobre os vetores da base canônica de
,
e colocando essas imagens como colunas (na mesma ordem) em uma matriz
.
Calculemos:
Portanto, a matriz de
relativa às bases canônicas (chamo-a
) é
onde a primeira coluna é
, a segunda é
e a terceira é
.]
Passo 4
Encontrando o núcleo
.
Definição prática:
. Então resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Assim um vetor
no núcleo tem a forma
Logo
.
Uma base do núcleo é
e a dimensão do núcleo (nullidade) é
Passo 5
Determinando a imagem
e uma base dela.
A imagem de
é o subespaço de
gerado pelas colunas da matriz
(ou seja, pelos vetores
). Essas colunas são
Observação prática: se dois vetores dentre esses já geram
(por exemplo
e
), então a imagem é todo
. Aqui vemos que a primeira coluna é
e a terceira é
; esses dois são linearmente independentes e formam a base canônica de
. Portanto
Uma base para
é
e a dimensão (posto) é
Passo 6
Conferindo o Teorema do Posto-Nulidade.
O teorema diz
Aqui
. Calculamos
e
. Então
confere com o teorema.
Passo 7
Decidindo injetividade e sobrejetividade.
-
Injetividade:
é injetora se e somente se . Aqui contém o vetor não-nulo , logo . Portanto não é injetora. -
Sobrejetividade:
é sobrejetora se . Já mostramos que . Portanto é sobrejetora.
Comentário intuitivo:
“esmaga” uma dimensão (por isso não é injetora) mas ainda atinge todo
(por isso é sobrejetora).
Passo 8
(Complemento útil para prova/exame) Descrever todos os pré-imagens de um vetor arbitrário
.
Resolver
, ou seja
Escolha um parâmetro livre, por exemplo
. Então
Portanto todas as soluções são
Isto mostra que para qualquer
existe pelo menos uma pré-imagem (de fato, infinitas, formando uma reta afim), reforçando que
é sobrejetora e também ilustrando que o espaço de soluções tem dimensão
(a mesma da nulidade).
Resposta
Matriz de
nas bases canônicas:
não é injetora;
é sobrejetora]