Foram anotados os níveis de colesterol (em
) para uma amostra de trinta pacientes de uma clínica cardíaca. As medidas se referem a homens entre 40 e 65 anos, que foram à clínica fazer um chek-up.
Paciente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Colesterol
160
160
161
163
167
170
172
172
173
177
178
181
181
182
185
Paciente
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Colesterol
186
194
197
199
203
203
205
206
206
208
209
211
214
218
225
a. Calcule a média, moda, mediana e variância a partir da tabela de dados brutos.
b. Organize os dados em uma tabela de frequências com faixa de amplitude (tamanho) 10 a partir de 160.
c. Refaça o item (a) através da tabela obtida no item (b).
d. Comente as diferenças encontradas entre os valores obtidos no item (a) e ©.
| Paciente | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Colesterol | 160 | 160 | 161 | 163 | 167 | 170 | 172 | 172 | 173 | 177 | 178 | 181 | 181 | 182 | 185 |
| Paciente | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| Colesterol | 186 | 194 | 197 | 199 | 203 | 203 | 205 | 206 | 206 | 208 | 209 | 211 | 214 | 218 | 225 |
b. Organize os dados em uma tabela de frequências com faixa de amplitude (tamanho) 10 a partir de 160.
c. Refaça o item (a) através da tabela obtida no item (b).
d. Comente as diferenças encontradas entre os valores obtidos no item (a) e ©.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede é uma análise descritiva de 30 níveis de colesterol (em mg/100 ml) de pacientes entre 40 e 65 anos. A matéria é Estatística Descritiva: medidas de tendência central (média, moda, mediana) e de dispersão (variância) tanto com dados brutos quanto com dados agrupados em classes de amplitude 10 (começando em 160).
Para resolver isso, a gente vai precisar:
• Saber calcular média, moda, mediana e variância em dados brutos.
• Saber montar uma tabela de frequência por classe e usar as fórmulas de média, mediana e moda aproximadas em dados agrupados.
• Entender por que os valores mudam quando a gente agrupa em classes.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
• Saber calcular média, moda, mediana e variância em dados brutos.
• Saber montar uma tabela de frequência por classe e usar as fórmulas de média, mediana e moda aproximadas em dados agrupados.
• Entender por que os valores mudam quando a gente agrupa em classes.
Passo 2
(Parte a) Cálculo direto com os 30 valores brutos
-
Média
.
Soma dos valores:
.
Logo
. -
Mediana
Como(par), a mediana é a média do 15.º e do 16.º valores ordenados:
.
. -
Moda
Os valores que mais aparecem são 160, 172, 181, 203 e 206 (todos com frequência 2).
É uma distribuição multimodal. -
Variância (populacional)
.
Calculandoe usando
,
chega-se a
.
Passo 3
(Parte b) Montar a tabela de frequência com classes de amplitude 10, a partir de 160
| Classe | Intervalo | Fi |
|---|---|---|
| 1 | [160 – 170) | 5 |
| 2 | [170 – 180) | 6 |
| 3 | [180 – 190) | 5 |
| 4 | [190 – 200) | 3 |
| 5 | [200 – 210) | 7 |
| 6 | [210 – 220) | 3 |
| 7 | [220 – 230) | 1 |
| Total | 30 |
Também anotamos o ponto médio
de cada classe: 165, 175, 185, 195, 205, 215, 225.
Passo 4
(Parte c) Cálculos aproximados com os dados agrupados
-
Média agrupada
-
Mediana agrupada
A mediana cai na classe onde o cumulativo passa de 15, isto é, classe 3 ([180–190)), com limite, , , largura : -
Moda agrupada
A classe modal é [200–210) com, (anterior), (próxima), , : -
Variância agrupada
Passo 5
(Parte d) Comparando resultados
• A média “bruta” deu cerca de 188,87 e a agrupada 189,67: a diferença vem do uso dos pontos-médios.
• A mediana mudou de 185,5 (valor exato) para 188 (aproximação de classe).
• A moda bruta era multimodal (vários valores repetidos), na agrupada virou um único valor aproximado (205).
• A variância caiu de ~357 para ~312, porque a agrupação “amortece” as variações individuais.
• A mediana mudou de 185,5 (valor exato) para 188 (aproximação de classe).
• A moda bruta era multimodal (vários valores repetidos), na agrupada virou um único valor aproximado (205).
• A variância caiu de ~357 para ~312, porque a agrupação “amortece” as variações individuais.
Em resumo, agrupar torna os cálculos mais práticos, mas perde precisão nos números exatos.
Resposta
a) Dados brutos:
• Média = 188,87
• Mediana = 185,5
• Moda = 160, 172, 181, 203 e 206 (multimodal)
• Variância ≈ 356,98
• Média = 188,87
• Mediana = 185,5
• Moda = 160, 172, 181, 203 e 206 (multimodal)
• Variância ≈ 356,98
b) Tabela de frequência (classes de largura 10):
[160–170): 5; [170–180): 6; [180–190): 5; [190–200): 3; [200–210): 7; [210–220): 3; [220–230): 1
[160–170): 5; [170–180): 6; [180–190): 5; [190–200): 3; [200–210): 7; [210–220): 3; [220–230): 1
c) Com os dados agrupados:
• Média ≈ 189,67
• Mediana ≈ 188
• Moda ≈ 205
• Variância ≈ 311,59
• Média ≈ 189,67
• Mediana ≈ 188
• Moda ≈ 205
• Variância ≈ 311,59
d) As diferenças surgem porque, ao agrupar, a gente substitui cada valor pelo ponto médio da classe, suavizando a dispersão e mudando ligeiramente os centros e a variabilidade.