Foram coletadas 10 amostras do tempo para um engenheiro escrever um certo laudo técnico. Um estudo estatístico prévio apontou que os dados seguem uma distribuição log-normal. Estimando-se os parâmetros da distribuição a partir da amostra de dados, temos que a probabilidade do engenheiro levar menos 12 horas é:
12,815
14,213
21,436
22,834
19,805
17,475
12,349
25,863
27,96
20,038
Exemplo: para 12,53% responder 0,1253

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 tempos diferentes que um engenheiro levou para escrever um laudo técnico. Foi feito um estudo que mostrou que esses tempos seguem uma distribuição log-normal. Nosso objetivo é calcular a probabilidade desse engenheiro levar menos de 12 horas para completar o laudo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuições log-normais e funções de distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar os dados para facilitar os cálculos. Como estamos lidando com uma distribuição log-normal, vamos calcular o logaritmo natural de cada tempo. Isso nos ajuda a trabalhar com uma distribuição normal padrão.
Os tempos são:
12,815; 14,213; 21,436; 22,834; 19,805; 17,475; 12,349; 25,863; 27,96; 20,038
Calculando o logaritmo natural de cada valor:
ln(12,815) &approx 2,5497 ln(14,213) &approx 2,6543 ln(21,436) &approx 3,0671 ln(22,834) &approx 3,1291 ln(19,805) &approx 2,9865 ln(17,475) &approx 2,8618 ln(12,349) &approx 2,5144 ln(25,863) &approx 3,2529 ln(27,96) &approx 3,3324 ln(20,038) &approx 3,0008

Passo 3

Agora, vamos calcular a média ( mu) dos valores transformados:
mu = 2,5497 + 2,6543 + 3,0671 + 3,1291 + 2,9865 + 2,8618 + 2,5144 + 3,2529 + 3,3324 + 3,000810 approx 2,9349
Em seguida, calculamos a variância ( sigma^2):
sigma^2 = sum ( ln(xi) - mu )^2n - 1 approx 0,0812
E o desvio padrão ( sigma) será:
sigma approx raiz0,0812 approx 0,285

Passo 4

Com os parâmetros mu approx 2,9349 e sigma approx 0,285, podemos usar a distribuição normal para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 5

Queremos encontrar $ P(X < 12) $. Primeiro, transformamos esse valor usando a média e o desvio padrão calculados:
P(X < 12)

Passo 6

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a $ Z = -1,5789 $. Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos:
Z = -1,5789

Resposta

A probabilidade do engenheiro levar menos de 12 horas é aproximadamente 0,0571.

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