Sejam 18 cronometragens do uma certa tarefa, de média 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população é desconhecida, mas sabe que a distribuição é próxima de uma Normal. Calcule o intervalo de confiança bilateral da variância para
de confiança e responda qual é o tamanho deste intervalo, ou seja, a diferença entre o limite superior e inferior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de estatística que envolve calcular um intervalo de confiança para a variância de um conjunto de dados. A gente vai usar conceitos de Distribuição Qui-quadrado e Intervalo de Confiança para resolver isso. Precisaremos entender a média, desvio-padrão, variância e como esses se relacionam com a distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variância (
) de uma população pode ser estimada usando a variância amostral (
). Quando a distribuição dos dados é normal, a distribuição da variável
(qui-quadrado) com
graus de liberdade pode ser usada para construir o intervalo de confiança.
Passo 3
A fórmula para o intervalo de confiança bilateral para a variância é:
Onde:
-
é o tamanho da amostra. -
é a variância amostral. -
e são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
-
cronometragens - Média (
) = 100 minutos (mas não precisamos dela diretamente aqui) - Desvio-padrão (
) = 15 minutos - Variância amostral (
) = minutos²
Passo 5
O nível de confiança é de
, então
. Isso significa que
.
Precisamos encontrar os valores críticos
e
para
graus de liberdade.
Passo 6
Consultando uma tabela da distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
Passo 8
Calculando os limites:
Para o limite inferior:
Para o limite superior:
Passo 9
Assim, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente
minutos².
Resposta
O tamanho do intervalo de confiança é aproximadamente
minutos².