Sejam 18 cronometragens do uma certa tarefa, de média 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população é desconhecida, mas sabe que a distribuição é próxima de uma Normal. Calcule o intervalo de confiança bilateral da variância para 90 % de confiança e responda qual é o tamanho deste intervalo, ou seja, a diferença entre o limite superior e inferior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de estatística que envolve calcular um intervalo de confiança para a variância de um conjunto de dados. A gente vai usar conceitos de Distribuição Qui-quadrado e Intervalo de Confiança para resolver isso. Precisaremos entender a média, desvio-padrão, variância e como esses se relacionam com a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variância ( sigma^2) de uma população pode ser estimada usando a variância amostral ( s^2). Quando a distribuição dos dados é normal, a distribuição da variável chi^2 (qui-quadrado) com n-1 graus de liberdade pode ser usada para construir o intervalo de confiança.

Passo 3

A fórmula para o intervalo de confiança bilateral para a variância é:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, (n-1)s^2chi^21-alpha/2 )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra.
  • s^2 é a variância amostral.
  • chi^2alpha/2 e chi^21-alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para o nível de confiança desejado.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • n = 18 cronometragens
  • Média ( barx) = 100 minutos (mas não precisamos dela diretamente aqui)
  • Desvio-padrão ( s) = 15 minutos
  • Variância amostral ( s^2) = 15^2 = 225 minutos²

Passo 5

O nível de confiança é de 90%, então alpha = 1 - 0.90 = 0.10. Isso significa que alpha/2 = 0.05.
Precisamos encontrar os valores críticos chi^20.05 e chi^20.95 para df = n - 1 = 17 graus de liberdade.

Passo 6

Consultando uma tabela da distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
chi^20.05, 17 approx 8.672
chi^20.95, 17 approx 27.587

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do intervalo de confiança:
( (18-1) times 22527.587, (18-1) times 2258.672 ) = ( 17 times 22527.587, 17 times 2258.672 )

Passo 8

Calculando os limites:
Para o limite inferior:
17 times 22527.587 approx 382527.587 approx 138.71 minutos^2
Para o limite superior:
17 times 2258.672 approx 38258.672 approx 440.68 minutos^2

Passo 9

Assim, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (138.71, 440.68) minutos².

Resposta

O tamanho do intervalo de confiança é aproximadamente 440.68 - 138.71 = 301.97 minutos².

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