Sejam 18 cronometragens de uma certa tarefa, de média 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população é desconhecida. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com 90 % de confiança.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem 18 cronometragens de uma tarefa, com média de 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população não é conhecida. O que queremos é calcular o limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com 90% de confiança. Vamos usar conceitos de estimativa de intervalo de confiança usando a distribuição t de Student, já que a variância da população é desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Como queremos o limite inferior, estamos interessados em determinar um valor abaixo do qual a média da população não deve cair com 90% de confiança.

Passo 3

Como a variância da população é desconhecida e o tamanho da amostra é menor que 30, vamos utilizar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o limite inferior é:
Limite Inferior = barx - talpha times ( sraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral
  • talpha é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado
  • s é o desvio-padrão amostral
  • n é o tamanho da amostra

Passo 4

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Média amostral, barx = 100 minutos
  • Desvio-padrão amostral, s = 15 minutos
  • Tamanho da amostra, n = 18

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha para um intervalo de confiança unilateral de 90% com graus de liberdade df = n - 1 = 17. Como é unilateral, alpha = 1 - 0.90 = 0.10. Vamos procurar esse valor na tabela t ou usar uma calculadora estatística. O valor aproximado de t0.10 para 17 graus de liberdade é cerca de 1.333.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sraizn:
15raiz18 approx 154.2426 approx 3.5355

Passo 7

Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:
1.333 times 3.5355 approx 4.714

Passo 8

Finalmente, subtraímos esse valor da média amostral para encontrar o limite inferior do intervalo de confiança:
100 - 4.714 approx 95.286

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com 90% de confiança, é aproximadamente 95,29 minutos.

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