Sejam 18 cronometragens de uma certa tarefa, de média 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população é desconhecida. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com
de confiança.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem 18 cronometragens de uma tarefa, com média de 100 minutos e desvio-padrão de 15 minutos. A variância da população não é conhecida. O que queremos é calcular o limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com 90% de confiança. Vamos usar conceitos de estimativa de intervalo de confiança usando a distribuição t de Student, já que a variância da população é desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que provavelmente contém a média verdadeira da população. Como queremos o limite inferior, estamos interessados em determinar um valor abaixo do qual a média da população não deve cair com 90% de confiança.
Passo 3
Como a variância da população é desconhecida e o tamanho da amostra é menor que 30, vamos utilizar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança. A fórmula para o limite inferior é:
Onde:
-
é a média amostral -
é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança desejado -
é o desvio-padrão amostral -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
- Média amostral,
minutos - Desvio-padrão amostral,
minutos - Tamanho da amostra,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico
para um intervalo de confiança unilateral de 90% com graus de liberdade
. Como é unilateral,
. Vamos procurar esse valor na tabela t ou usar uma calculadora estatística. O valor aproximado de
para 17 graus de liberdade é cerca de 1.333.
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão da média, que é
:
Passo 7
Agora, multiplicamos o valor crítico pela erro padrão:
Passo 8
Finalmente, subtraímos esse valor da média amostral para encontrar o limite inferior do intervalo de confiança:
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança unilateral para a média, com 90% de confiança, é aproximadamente 95,29 minutos.