Questão: (20 pontos) Utilize variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial ordinária não homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
e pede para encontrar a solução geral usando o método da variação dos parâmetros.
Informações relevantes que temos: o coeficiente do termo de mais alta ordem é (não zero para
), o membro não homogêneo é
. Nenhum valor inicial é dado, então devemos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias.
A resolução começa encontrando a solução da equação homogênea associada e depois aplicando variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Informações relevantes que temos: o coeficiente do termo de mais alta ordem é
A resolução começa encontrando a solução da equação homogênea associada e depois aplicando variação de parâmetros para obter uma solução particular.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão
dividindo tudo por
(válido pois
):
Aqui identifiquei:
,
e
.
Explicação do porquê fazer isso: as fórmulas de variação de parâmetros são aplicadas num problema de segunda ordem escrito nesta forma padrão, com isolado. Isso também facilita achar a solução homogênea.
Explicação do porquê fazer isso: as fórmulas de variação de parâmetros são aplicadas num problema de segunda ordem escrito nesta forma padrão, com
Passo 3
Resolvo a equação homogênea associada
Para equações com potências de
tipo Euler–Cauchy, tento uma solução do tipo
. Substituo
, então
,
. Substituindo na homogênea:
Fatorando
(não nulo para
):
Calculando o polinômio característico:
Resolvo:
Logo duas soluções independentes da homogênea são
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 4
Explico a ideia da variação de parâmetros: procuramos uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
para simplificar contas e obter um sistema simples para
e
. As fórmulas resultantes (padrão) são
onde
é o Wronskiano de
e
:
Vou calcular
explicitamente: com
e
,
Então
Observação:
não é zero para
, logo
e
são independentes e as fórmulas valem.
Passo 5
Aplico as fórmulas de variação de parâmetros com
e
:
Faço as potências e simplifico termos passo a passo.
Passo 6
Calculo
simplificando potências:
Logo
Agora integro para obter
:
Faço a integral usando a regra
(para
):
Multiplicando por
:
Observação: constantes de integração podem ser ignoradas aqui, pois entram na combinação com a solução homogênea.
Passo 7
Calculo
simplificando potências:
Então
Integro para obter
:
Usando a regra da integral:
logo
Passo 8
Construo a solução particular
. Substituo
:
Faço as potências somando expoentes:
Portanto
Somando as frações com denominador comum
:
Logo
Passo 9
Escrevo a solução geral somando homogênea mais particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução da homogênea).
Pequena verificação rápida (razoável na prova): se substituirmos no operador
obtém-se
. Igualando a
dá
, consistindo com o que obtivemos.
Pequena verificação rápida (razoável na prova): se substituirmos