4^{a} Questão: (20 pontos) Utilize variação dos parâmetros para resolver a equação diferencial ordinária não homogênea:
t^{2} y^{\prime \prime}-t y^{\prime}-8 y=t^{3 / 2}, \operatorname{com} t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
t^{2}y''-t y'-8y=t^{3/2},\qquad t>0,
e pede para encontrar a solução geral usando o método da variação dos parâmetros.
Informações relevantes que temos: o coeficiente do termo de mais alta ordem é \,t^{2}\, (não zero para t>0), o membro não homogêneo é \,t^{3/2}\,. Nenhum valor inicial é dado, então devemos obter a solução geral com duas constantes arbitrárias.
A resolução começa encontrando a solução da equação homogênea associada e depois aplicando variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=g(t) dividindo tudo por t^{2} (válido pois t>0):
y''-\frac{1}{t}y'-\frac{8}{t^{2}}y=t^{-1/2}.
Aqui identifiquei: P(t)=-\dfrac{1}{t}, Q(t)=-\dfrac{8}{t^{2}} e g(t)=t^{-1/2}.
Explicação do porquê fazer isso: as fórmulas de variação de parâmetros são aplicadas num problema de segunda ordem escrito nesta forma padrão, com y'' isolado. Isso também facilita achar a solução homogênea.

Passo 3

Resolvo a equação homogênea associada
y''-\frac{1}{t}y'-\frac{8}{t^{2}}y=0.
Para equações com potências de t tipo Euler–Cauchy, tento uma solução do tipo y=t^{r}. Substituo y=t^{r}, então y'=r t^{r-1}, y''=r(r-1)t^{r-2}. Substituindo na homogênea:
r(r-1)t^{r-2}-\frac{1}{t}\,r t^{r-1}-\frac{8}{t^{2}}t^{r}=0.
Fatorando t^{r-2} (não nulo para t>0):
r(r-1)-r-8=0.
Calculando o polinômio característico:
r^{2}-2r-8=0.
Resolvo:
r=\frac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm6}{2}\Rightarrow r_{1}=4,\quad r_{2}=-2.
Logo duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(t)=t^{4},\qquad y_{2}(t)=t^{-2}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}t^{4}+C_{2}t^{-2}.

Passo 4

Explico a ideia da variação de parâmetros: procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(t)\,y_{1}(t)+u_{2}(t)\,y_{2}(t),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0
para simplificar contas e obter um sistema simples para u_{1}' e u_{2}'. As fórmulas resultantes (padrão) são
u_{1}'=-\frac{y_{2}\,g}{W},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}\,g}{W},
onde W é o Wronskiano de y_{1} e y_{2}:
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Vou calcular W explicitamente: com y_{1}=t^{4} e y_{2}=t^{-2},
y_{1}'=4t^{3},\qquad y_{2}'=-2t^{-3}.
Então
W=t^{4}(-2t^{-3})-(4t^{3})(t^{-2})=-2t-4t=-6t.
Observação: W não é zero para t>0, logo y_{1} e y_{2} são independentes e as fórmulas valem.

Passo 5

Aplico as fórmulas de variação de parâmetros com g(t)=t^{-1/2} e W=-6t:
u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W}=-\frac{t^{-2}\cdot t^{-1/2}}{-6t},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W}=\frac{t^{4}\cdot t^{-1/2}}{-6t}.
Faço as potências e simplifico termos passo a passo.

Passo 6

Calculo u_{1}' simplificando potências:
t^{-2}\cdot t^{-1/2}=t^{-5/2}.
Logo
u_{1}'=-\frac{t^{-5/2}}{-6t}=\frac{t^{-5/2}}{6t}=\frac{1}{6}t^{-7/2}.
Agora integro para obter u_{1}:
u_{1}=\frac{1}{6}\int t^{-7/2}\,dt.
Faço a integral usando a regra \int t^{\alpha}\,dt=\dfrac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1} (para \alpha\neq-1):
\int t^{-7/2}\,dt=\frac{t^{-5/2}}{-5/2}=-\frac{2}{5}t^{-5/2}.
Multiplicando por 1/6:
u_{1}=\frac{1}{6}\left(-\frac{2}{5}t^{-5/2}\right)=-\frac{1}{15}t^{-5/2}.
Observação: constantes de integração podem ser ignoradas aqui, pois entram na combinação com a solução homogênea.

Passo 7

Calculo u_{2}' simplificando potências:
t^{4}\cdot t^{-1/2}=t^{7/2}.
Então
u_{2}'=\frac{t^{7/2}}{-6t}=-\frac{1}{6}t^{5/2}.
Integro para obter u_{2}:
u_{2}=-\frac{1}{6}\int t^{5/2}\,dt.
Usando a regra da integral:
\int t^{5/2}\,dt=\frac{t^{7/2}}{7/2}=\frac{2}{7}t^{7/2},
logo
u_{2}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{7}t^{7/2}=-\frac{1}{21}t^{7/2}.

Passo 8

Construo a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}=\left(-\frac{1}{15}t^{-5/2}\right)t^{4}+\left(-\frac{1}{21}t^{7/2}\right)t^{-2}.
Faço as potências somando expoentes:
t^{-5/2}t^{4}=t^{4-5/2}=t^{3/2},\qquad t^{7/2}t^{-2}=t^{7/2-2}=t^{3/2}.
Portanto
y_{p}=-\frac{1}{15}t^{3/2}-\frac{1}{21}t^{3/2}=\left(-\frac{1}{15}-\frac{1}{21}\right)t^{3/2}.
Somando as frações com denominador comum 105:
-\frac{1}{15}-\frac{1}{21}=-\frac{7+5}{105}=-\frac{12}{105}=-\frac{4}{35}.
Logo
y_{p}=-\frac{4}{35}t^{3/2}.

Passo 9

Escrevo a solução geral somando homogênea mais particular:
y(t)=C_{1}t^{4}+C_{2}t^{-2}-\frac{4}{35}t^{3/2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a solução da homogênea).
Pequena verificação rápida (razoável na prova): se substituirmos y_{p}=C t^{3/2} no operador t^{2}y''-t y'-8y obtém-se -\tfrac{35}{4}C t^{3/2}. Igualando a t^{3/2} C=-\tfrac{4}{35}, consistindo com o que obtivemos.

Resposta

y(t)=C_{1}t^{4}+C_{2}t^{-2}-\frac{4}{35}t^{3/2}

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