A força F=(2 x^-2+3 x) i+(x^3+3 x) j age sobre uma partícula de massa 485 g , inicialmente em repouso, mudando apenas a energia cinética. Determine.
Calcule o módulo da velocidade final desta partícula, após a ocorrência do deslocamento do item a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma força definida por $ \mathbf{F} = \left(2x^{-2} + 3x\right) \mathbf{i} + \left(x^{3} + 3x\right) \mathbf{j} $ que está agindo sobre uma partícula de massa 485 g (ou 0,485 kg). A partícula começa parada e só muda sua energia cinética por causa dessa força. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade final dessa partícula depois que ela é empurrada por essa força durante um certo deslocamento.
Vamos precisar usar conceitos de Trabalho e Energia Cinética para resolver isso. Basicamente, o trabalho feito pela força vai se transformar na energia cinética da partícula, e a gente vai usar isso para achar a velocidade final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Trabalho e Energia Cinética, que diz que o trabalho total feito sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Como a partícula começa em repouso, a energia cinética inicial é zero. Então:
W = De
Aqui, $ W $ é o trabalho feito pela força, $ m $ é a massa da partícula, e $ v $ é a velocidade final que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o trabalho que a força $ \mathbf{F} $ realiza durante o deslocamento. O trabalho é definido como a integral da força ao longo do caminho percorrido. Matemáticamente, isso é:
F
Mas, como a força depende de $ x $, vamos supor que o movimento ocorre ao longo do eixo $ x $. Então, podemos simplificar para:
W = integral F cdot ds
Onde $ F_x = 2x^{-2} + 3x $.

Passo 4

Vamos então calcular essa integral:
W = integralxi^xf (2x^-2 + 3x) dx
Integrando termo a termo:
integral 2x^-2 , dx = -2x^-1 = -2x
integral 3x , dx = 32x^2
Então, o trabalho fica:
W = [ -2x + 32x^2 ]xi^xf = ( -2xf + 32xf^2 ) - ( -2xi + 32xi^2 )

Passo 5

Como não temos os valores de $ x_i $ e $ x_f $ (os pontos inicial e final do deslocamento), vamos supor que a partícula se move do ponto $ x = 1 $ para $ x = 2 $ metros para simplificar. Substituindo esses valores:
xi

Passo 6

Agora que temos o trabalho, podemos usar o teorema do trabalho-e-energia para encontrar a velocidade final:
W = 12 m v^2
Substituindo os valores:
5.5 = 12 times 0.485 times v^2
Resolvendo para $ v $:
v
v^2 = 5.5 times 20.485 approx 110.485 approx 22.68

Resposta

O módulo da velocidade final da partícula é aproximadamente 4,76 m/s.

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