A força
age sobre uma partícula de massa 485 g , inicialmente em repouso, mudando apenas a energia cinética. Determine.
Calcule o módulo da velocidade final desta partícula, após a ocorrência do deslocamento do item a.
Calcule o módulo da velocidade final desta partícula, após a ocorrência do deslocamento do item a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma força definida por $ \mathbf{F} = \left(2x^{-2} + 3x\right) \mathbf{i} + \left(x^{3} + 3x\right) \mathbf{j} $ que está agindo sobre uma partícula de massa 485 g (ou 0,485 kg). A partícula começa parada e só muda sua energia cinética por causa dessa força. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade final dessa partícula depois que ela é empurrada por essa força durante um certo deslocamento.
Vamos precisar usar conceitos de Trabalho e Energia Cinética para resolver isso. Basicamente, o trabalho feito pela força vai se transformar na energia cinética da partícula, e a gente vai usar isso para achar a velocidade final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema do Trabalho e Energia Cinética, que diz que o trabalho total feito sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Como a partícula começa em repouso, a energia cinética inicial é zero. Então:
Aqui, $ W $ é o trabalho feito pela força, $ m $ é a massa da partícula, e $ v $ é a velocidade final que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o trabalho que a força $ \mathbf{F} $ realiza durante o deslocamento. O trabalho é definido como a integral da força ao longo do caminho percorrido. Matemáticamente, isso é:
Mas, como a força depende de $ x $, vamos supor que o movimento ocorre ao longo do eixo $ x $. Então, podemos simplificar para:
Onde $ F_x = 2x^{-2} + 3x $.
Passo 4
Vamos então calcular essa integral:
Integrando termo a termo:
Então, o trabalho fica:
Passo 5
Como não temos os valores de $ x_i $ e $ x_f $ (os pontos inicial e final do deslocamento), vamos supor que a partícula se move do ponto $ x = 1 $ para $ x = 2 $ metros para simplificar. Substituindo esses valores:
Passo 6
Agora que temos o trabalho, podemos usar o teorema do trabalho-e-energia para encontrar a velocidade final:
Substituindo os valores:
Resolvendo para $ v $:
Resposta
O módulo da velocidade final da partícula é aproximadamente 4,76 m/s.