Uma força alinhada com os cixo dos x atua sobre um corpo de massa m. Tal força varia com a posiçăo na forma F(x)=a+b x. (A) Calcule a energia potencial do corpo no ponto x, tomando como referência o ponto x=0, ou seja, U(0)=0. (B) Se no ponto x=0 o corpo tem velocidade ve, qual ^epsilon sua velocidade no ponto x ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com força e energia potencial na física. Precisamos calcular a energia potencial do corpo em um ponto específico e depois descobrir como a velocidade do corpo muda quando ele se move para esse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de integração para encontrar a energia potencial e a conservação de energia para achar a nova velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força e a energia potencial. A energia potencial $ U(x) $ está relacionada à força $ F(x) $ pela equação:
U(x)
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial $ U(0) = 0 $.

Passo 3

Dada a força $ F(x) = a + b x $, vamos calcular a integral:
F(x) = a + b x
Vamos integrar termo a termo:
U(x) = -integral (a + b x) , dx + C
integral a , dx = a x
Então, a energia potencial fica:
integral b x , dx = b2 x^2

Passo 4

Agora, usamos a condição $ U(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
U(0) = 0
Portanto, a energia potencial é:
C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte. A conservação de energia nos diz que a energia total do sistema permanece constante se não houver forças não conservativas. A energia total é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $:
K
No ponto $ x = 0 $:
U
No ponto $ x $:
Etotal = K + U

Passo 6

Igualando as energias inicial e final:
12 m ve^2 = 12 m v^2 - a x - b2 x^2
Vamos resolver para $ v $:
v
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
12 m v^2 = 12 m ve^2 + a x + b2 x^2
Agora, isolando $ v^2 $:
m v^2 = m ve^2 + 2 a x + b x^2
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
v^2

Resposta

A velocidade do corpo no ponto $ x $ é dada por:
x

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