Uma força alinhada com os cixo dos
atua sobre um corpo de massa
. Tal força varia com a posiçăo na forma
. (A) Calcule a energia potencial do corpo no ponto
, tomando como referência o ponto
, ou seja,
. (B) Se no ponto
o corpo tem velocidade
, qual
sua velocidade no ponto
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com força e energia potencial na física. Precisamos calcular a energia potencial do corpo em um ponto específico e depois descobrir como a velocidade do corpo muda quando ele se move para esse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de integração para encontrar a energia potencial e a conservação de energia para achar a nova velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a força e a energia potencial. A energia potencial $ U(x) $ está relacionada à força $ F(x) $ pela equação:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial $ U(0) = 0 $.
Passo 3
Dada a força $ F(x) = a + b x $, vamos calcular a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a energia potencial fica:
Passo 4
Agora, usamos a condição $ U(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
Portanto, a energia potencial é:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte. A conservação de energia nos diz que a energia total do sistema permanece constante se não houver forças não conservativas. A energia total é a soma da energia cinética $ K $ e da energia potencial $ U $:
No ponto $ x = 0 $:
No ponto $ x $:
Passo 6
Igualando as energias inicial e final:
Vamos resolver para $ v $:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Agora, isolando $ v^2 $:
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A velocidade do corpo no ponto $ x $ é dada por: