(2 pontos) Considere uma barra de comprimento L e com uma densidade linear de carga constante lambda. Calcule o campo elétrico num ponto P a uma distância d de uma das extremidades da barra e sobre o mesmo eixo da barra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barra de comprimento com uma densidade linear de carga constante . A pergunta é: qual é o campo elétrico no ponto , que está a uma distância de uma das extremidades da barra e está alinhado no mesmo eixo da barra. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos produzidos por cargas distribuídas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é densidade linear de carga . Ela representa a quantidade de carga por unidade de comprimento na barra. Como a carga está distribuída ao longo da barra, precisamos somar as contribuições de cada pedacinho da barra para encontrar o campo elétrico total no ponto .

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento na barra, localizado a uma distância da extremidade mais próxima ao ponto . A carga nesse pequeno elemento é .

Passo 4

Para encontrar o campo elétrico dE = 14pi varepsilon0 cdot dq(x + d)^2 gerado por esse elemento de carga no ponto , usamos a lei de Coulomb:
Aqui, é a permissividade do vácuo, e é a distância total entre o elemento de carga e o ponto .

Passo 5

Substituindo dE = lambda4pi varepsilon0 cdot dx(x + d)^2 na equação:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral0^L lambda4pi varepsilon0 cdot dx(x + d)^2 , integramos desde até :

Passo 7

A integral de integral dx(x + d)^2 = -1x + d + C em relação a é:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
E = lambda4pi varepsilon0 [ -1x + d ]0^L = lambda4pi varepsilon0 ( -1L + d + 1d )

Passo 9

Simplificando a expressão:
E = lambda4pi varepsilon0 ( 1d - 1L + d ) = lambda4pi varepsilon0 cdot Ld(L + d)

Resposta

Portanto, o campo elétrico no ponto E = lambda L4pi varepsilon0 , d(L + d) é:

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